Testek: felszín és térfogat
A kocka felszíne
Hat egyforma négyzet – ennyi az egész. Itt van a képlet, a hálós magyarázat, a visszafelé számolás és az is, mit kezdj a felül nyitott dobozzal.
Röviden a válasz
A kocka felszíne A = 6 · a2, ahol a az él hossza. A kockát ugyanis hat egybevágó négyzet határolja, mindegyik területe a2. Ha a = 4 cm, akkor A = 6 · 16 = 96 cm².
Visszafelé is egyszerű: ha a felszín ismert, a = √A6 – előbb osztasz hattal (ez egy lap területe), aztán gyököt vonsz.
Kockafelszín-kalkulátor
Egyetlen adat elég: él, felszín, térfogat vagy testátló – a másik hármat kiszámoljuk.
Egy adatból az összes többi következik: él, térfogat, felszín vagy testátló.
- a oldal
- –
- Térfogat
- –
- Felszín
- –
- d átmérő / átló
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Miért 6a²?
Terítsd ki gondolatban a kockát: hat négyzetet kapsz, mindegyik oldala a. Egy lap területe a2, hatszor annyi az egész: A = 6 · a2. Ez a test hálója, és a kockánál ez a legszemléletesebb az összes test közül – nincs benne ferde lap, nincs benne kör, csak hat egyforma négyzet.
Kidolgozott példák
Kidolgozott példa · Élből: a = 4 cm
Mekkora a kocka felszíne?
- Egy lap területe:T1 = a2 = 42 = 16 cm2
- Hat ilyen lap van:A = 6 · 16
- Az eredmény:A = 96 cm2
EredményA = 96 cm²
Kidolgozott példa · Csomagolás: a = 12 cm élű doboz
Hány négyzetdeciméter csomagolópapír fedi le pontosan a dobozt?
- A felszín centiméterben:A = 6 · 122 = 6 · 144 = 864 cm2
- Váltsd dm²-re – 1 dm² = 100 cm²:A = 864100 = 8,64 dm2
EredményA = 864 cm² = 8,64 dm²
Kidolgozott példa · Visszafelé: A = 600 cm²
Mekkora az él és a térfogat, ha a kocka felszíne 600 cm²?
- Egy lap területe (oszd hattal):T1 = 6006 = 100 cm2
- Az él ennek a négyzetgyöke:a = √100 = 10 cm
- A térfogat innen már egy lépés:V = 103 = 1000 cm3 = 1 liter
Eredménya = 10 cm, V = 1000 cm³
Nyitott doboz és részleges felszín
A gyakorlati feladatok gyakran nem mind a hat lapot kérik. Számold meg, hány lap kell valójában, és annyival szorozz.
| A feladat | Lapok száma | Képlet (a = 4 cm-nél) |
|---|---|---|
| Zárt doboz becsomagolása | 6 | 6a2 → 96 cm² |
| Felül nyitott doboz | 5 | 5a2 → 80 cm² |
| Szoba falai és mennyezete (padló nélkül) | 5 | 5a2 → 80 cm² |
| Csak az oldalfalak (palást) | 4 | 4a2 → 64 cm² |
Felszín, él, térfogat – hogyan függnek össze
| Amit tudsz | Az él képlete | Innen a felszín |
|---|---|---|
| Él (a) | – | A = 6a2 |
| Felszín (A) | a = √A6 | – |
| Térfogat (V) | köbgyök: a, amire a3 = V | A = 6a2 |
| Testátló (d) | a = d√3 | A = 2 · d2 |
Az utolsó sor meglepően rövid: mivel d = a · √3, ezért d2 = 3a2, és így A = 6a2 = 2 · d2. A térfogatszámítást a kocka térfogata oldalon részletezzük.
Gyors önellenőrzés
Egy kocka éle 7 cm. Mekkora a felszíne?
Hányszorosára nő a felszín, ha az élt megháromszorozod?
Egy felül nyitott kocka alakú tartó éle 5 cm. Mekkora a felülete?
Miért nem elég gyököt vonni a felszínből, ha az élt keresed?
Gyakori kérdések
Mi a kocka felszínének képlete?
A = 6 · a2, ahol a az él hossza. A kockát hat egybevágó négyzet határolja, mindegyik területe a2.
Hogyan számolom ki a kocka élét a felszínből?
Oszd a felszínt hattal – ez egy lap területe –, majd vonj négyzetgyököt: a = √A6. Ha A = 600 cm², akkor egy lap 100 cm², tehát a = 10 cm.
Mennyi egy felül nyitott kocka felszíne?
Öt lapot adsz össze: A = 5 · a2. Egy 4 cm élű, felül nyitott doboznál ez 80 cm².
Mi a különbség a kocka felszíne és térfogata között?
A felszín a hat lap összterülete, A = 6a2, négyzetegységben; a térfogat az, amennyi belefér, V = a3, köbegységben. Egy 4 cm élű kockánál A = 96 cm² és V = 64 cm³.
Hogyan kapom meg a felszínt a testátlóból?
Mivel a testátló d = a · √3, ezért d2 = 3a2, és a felszín A = 2 · d2. Egy 6,93 cm testátlójú kockánál például A ≈ 96 cm².