Magasság
A háromszög magassága
Egy háromszögnek nem egy magassága van, hanem három – és mind a három ugyanabból az egyetlen számból, a terület kétszereséből számolható.
Röviden a válasz
A háromszög magassága az a merőleges szakasz, amely egy csúcsból a szemközti oldal egyenesére megy. Mivel három csúcs van, minden háromszögnek három magassága van: ma, mb és mc.
A hosszuk közös forrásból jön: a · ma = b · mb = c · mc = 2T. Ha tehát megvan a terület, mindhárom magasság egy-egy osztás: ma = 2 · Ta.
Mekkora a háromszög magassága?
Add meg a három oldalt – a kalkulátor mindhárom magasságot és a területet is kiírja.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Hol van a háromszög magassága?
Válassz egy csúcsot, és állíts belőle merőlegest a szemközti oldal egyenesére. Az így kapott szakasz a magasság, a merőleges és az oldal metszéspontja pedig a talppont. Ugyanannak a háromszögnek három ilyen szakasza van, és ezek általában különböző hosszúak.
Az index tehát mindig az oldalt jelöli, amire merőlegesen érkezünk, nem a csúcsot, ahonnan indulunk. A magasság nem oldal és nem is szár: a szár a háromszög kerületének része, a magasság viszont a háromszög belsejét (tompaszögűnél a külsejét) szeli át.
Mekkora a magasság? Mindhárom egyetlen számból jön
A területképlet szerint T = a · ma2, de ugyanez igaz a másik két oldalra is. Vagyis az oldal és a hozzá tartozó magasság szorzata mindig ugyanaz a szám: a terület kétszerese.
Kidolgozott példa · a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm
Mekkora ennek a háromszögnek mind a három magassága?
- Félkerület:s = 13 + 14 + 152 = 21 cm
- Terület Héron-képlettel:T = √21 · 8 · 7 · 6 = √7056 = 84 cm2
- A közös szám, amiből minden magasság jön:2T = 168
- Az a oldalhoz:ma = 16813 = 12,92 cm
- A b oldalhoz:mb = 16814 = 12 cm
- A c oldalhoz:mc = 16815 = 11,2 cm
Eredményma = 12,92 cm, mb = 12 cm, mc = 11,2 cm
Látszik a példán az ellenőrzés is: a leghosszabb oldalhoz tartozik a legrövidebb magasság. A 15 cm-es oldalhoz 11,2 cm, a 13 cm-eshez viszont már 12,92 cm. Ha a számolásod ezt megfordítja, biztosan elcsúszott egy behelyettesítés.
Háromszögtípusok magassága egy táblázatban
Ha a háromszög valamilyen speciális típusú, nem kell a területen keresztül kerülőt tenni – van rá rövidebb út is.
| Háromszög | A magasság | Miért |
|---|---|---|
| Szabályos | m = a · √32 | A magasság felezi az alapot, a fél oldalra Pitagorasz-tétel jön. |
| Egyenlő szárú (alaphoz) | m = √b2 − (a2)2 | Az alaphoz tartozó magasság egyben szimmetriatengely. |
| Derékszögű (befogóhoz) | ma = b | A két befogó merőleges egymásra, tehát maguk a magasságok. |
| Tompaszögű | ma = 2 · Ta | Két magasság talppontja az oldal meghosszabbítására esik. |
Kidolgozott példa · Szabályos háromszög, a = 6 cm
Mekkora a szabályos háromszög magassága?
- A magasság felezi az alapot, így a fél oldal 3 cm. A magasság, a fél oldal és az oldal derékszögű háromszöget alkot:m = √62 − 32
- Kiszámolva:m = √36 − 9 = √27
- Vagyis:m = 5,20 cm
Eredménym = 5,20 cm
Szabályosnál mindhárom magasság egyenlő, és mindig az oldal √32 ≈ 0,866-szorosa. A többi képlet levezetése és a szögekből induló út a háromszög magasságának kiszámítása oldalon van.
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög területe 30 cm², az egyik oldala 12 cm. Mekkora a hozzá tartozó magasság?
Egy háromszögben a = 10 cm és ma = 6 cm. Mekkora a b = 8 cm oldalhoz tartozó magasság?
Lehet a magasság talppontja a háromszögön kívül?
Gyakori kérdések
Mi a háromszög magassága?
Egy csúcsból a szemközti oldal egyenesére állított merőleges szakasz. Minden háromszögnek három magassága van, és ezek egyenese egy közös pontban, a magasságpontban metszi egymást.
Mi a háromszög magasságának képlete?
A legáltalánosabb alak ma = 2 · Ta, ahol T a terület, a pedig az az oldal, amelyre a magasság merőleges. Ugyanígy mb = 2 · Tb és mc = 2 · Tc.
Mekkora a szabályos háromszög magassága?
Az oldal √32-szerese, vagyis m = a · √32. Egy 6 cm oldalú szabályos háromszögben ez √27 = 5,20 cm.
Melyik magasság melyik oldalhoz tartozik?
Az index az oldalt jelöli, nem a csúcsot: ma az a oldalra merőleges, és a szemközti A csúcsból indul. Területet is csak azonos indexű párból számolhatsz.
Miért egyenlő az a · ma, a b · mb és a c · mc?
Mert mindhárom szorzat ugyanannak a háromszögnek a területét adja meg kétszeresen: T = a · ma2 = b · mb2 = c · mc2. Ezért mindhárom szorzat értéke 2T.
Lehet a magasság hosszabb, mint az oldal, amelyre merőleges?
Igen. Egy keskeny, magas háromszögben például a = 3 cm mellett ma = 9 cm is lehet – a magasság hosszát semmi nem köti az oldalhoz.