Magasság
Háromszög magasságának kiszámítása lépésről lépésre
A feladat nem attól nehéz, hogy sok képlet van, hanem attól, hogy nem egyértelmű, melyiket kell. Ez az oldal a sorrendet adja meg – és megmutatja, hogyan ellenőrizd magad.
Röviden a válasz
A magasság kiszámítása mindig két kérdéssel kezdődik: melyik oldalhoz kell a magasság, és milyen adatokat kaptál. Ha van terület, egy osztás elég (ma = 2 · Ta); ha három oldal van, Héron-képlettel jutsz területhez; ha a háromszög speciális, van rá rövidebb út.
A végén mindig ellenőrizz: a magasság sosem lehet hosszabb annál a két oldalnál, amelyik a talppontjához vezet.
Számold ki a magasságot
Add meg a három oldalt (vagy két oldalt és egy szöget) – mindhárom magasságot kiírja, így az ellenőrzés is gyors.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A döntési sorrend
Ne a képletek közül válassz, hanem az adataid alapján haladj végig ezen a négy kérdésen. Az első, amelyikre igent tudsz mondani, megadja a megoldás útját.
Mit kérdezz meg magadtól?
- Adott a terület?Akkor kész: ma = 2 · Ta, ahol a az az oldal, amelyikhez a magasság tartozik. Ez a leggyorsabb eset.
- Speciális a háromszög?Szabályos, egyenlő szárú vagy derékszögű háromszögnél kész képlet van – lásd a következő szakasz táblázatát.
- Adott egy oldal és egy szög?A magasság egy derékszögű részháromszög befogója, tehát ma = c · sin β alakban azonnal kijön.
- Csak a három oldal van meg?Héron-képlettel számolj területet, majd oszd el a kétszeresét a megfelelő oldallal. Ez a leghosszabb út, de mindig működik.
A három oldalból induló eset
Ez a leggyakoribb dolgozatfeladat. A trükk annyi, hogy a területet egyszer számolod ki, és utána mindhárom magasság egy-egy osztás.
Kidolgozott példa · a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm
Számítsuk ki mind a három magasságot!
- Félkerület:s = 13 + 14 + 152 = 21 cm
- Terület Héron-képlettel:T = √21 · (21-13) · (21-14) · (21-15) = √21 · 8 · 7 · 6 = √7056 = 84 cm2
- Az a oldalhoz:ma = 2 · 8413 = 12,92 cm
- A b oldalhoz:mb = 2 · 8414 = 12 cm
- A c oldalhoz:mc = 2 · 8415 = 11,2 cm
Eredményma = 12,92 cm, mb = 12 cm, mc = 11,2 cm
Speciális háromszögek: rövidebb út
| Típus | Képlet | Példa |
|---|---|---|
| Szabályos | m = a · √32 | a = 14 cm → m = 12,12 cm |
| Egyenlő szárú (alaphoz) | m = √b2 − (a2)2 | alap 30, szár 25 → m = 20 cm |
| Derékszögű (befogóhoz) | ma = b | a másik befogó, számolás nélkül |
| Derékszögű (átfogóhoz) | mc = a · bc | 8–15–17 → mc = 7,06 cm |
Részletes levezetés és több példa a szabályos háromszög magassága, az egyenlő szárú háromszög magassága és a derékszögű háromszög magassága oldalakon van.
Kidolgozott példa · Egyenlő szárú: alap 30 cm, szár 25 cm
Mekkora az alaphoz tartozó magasság?
- A magasság felezi az alapot, tehát a fél alap 15 cm:252 = 152 + m2
- Átrendezve:m2 = 625 − 225 = 400
- Gyököt vonva:m = 20 cm
Eredménym = 20 cm
Három gyors ellenőrzés a végén
- Nem lehet túl nagy. Az ma nem lehet hosszabb sem b-nél, sem c-nél, mert azok a magasság „ferde" társai a derékszögű részháromszögben. A 13–14–15-ös példában ma = 12,92 < 14 – rendben van.
- Sorrendpróba. A hosszabb oldalhoz rövidebb magasság tartozik. A példában a < b < c, és tényleg ma > mb > mc.
- Területpróba. Számold vissza: a · ma2-nek ugyanazt kell adnia, mint b · mb2-nek. Itt mindkettő 84 cm².
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög területe 84 cm², az egyik oldala 21 cm. Mekkora az ehhez tartozó magasság?
Egy háromszög oldalai 13, 14 és 15 cm. Melyik a leghosszabb magasság?
Kaptál egy háromszöget 6 cm és 9 cm oldalakkal, a közbezárt szög 30°. Mekkora a 9 cm-es oldalhoz tartozó magasság?
Gyakori kérdések
Mi a legegyszerűbb módja a háromszög magasságának kiszámítására?
Ha ismert a terület, a ma = 2 · Ta képlet egyetlen osztás. Minden más eset ide vezet vissza: előbb területet szerzel (Héron-képlettel, két oldal és a közbezárt szög szinuszával), aztán osztasz.
Hogyan számolom ki a szabályos háromszög magasságát?
Az oldal 0,866-szorosa, pontosan m = a · √32. Egy 14 cm oldalú szabályos háromszögnél ez 12,12 cm.
Hogyan számolom ki a derékszögű háromszög magasságát?
A befogókhoz tartozó magasság maga a másik befogó, az átfogóhoz tartozó pedig mc = a · bc. Például 8 és 15 cm-es befogóknál az átfogó 17 cm, a magasság 7,06 cm.
Hogyan számolom ki az egyenlő szárú háromszög magasságát?
Az alaphoz tartozó magasság felezi az alapot, ezért m = √b2 − (a2)2. A 30 cm alapú, 25 cm szárú háromszögnél ez 20 cm.
Honnan tudom, hogy jó-e az eredményem?
Három próba van: a magasság nem lehet hosszabb a hozzá csatlakozó két oldalnál, a hosszabb oldalhoz rövidebb magasság tartozik, és a a · ma2 területnek egyeznie kell a másik oldalpárból számolttal.