Hogyan kell kiszámolni a háromszög magasságát?

Q: Mit csináljak, ha csak a három oldalt tudom?

Számolj félkerületet (s = (a+b+c)/(2)), abból Héron-képlettel területet, végül oszd el a terület kétszeresét a megfelelő oldallal.

Próbáld ki: írd be a saját számaidat

Három oldal, vagy két oldal és egy szög – a kalkulátor kiírja mindhárom magasságot.

azonnal számol

Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
c oldal: –
Felszín: –
β szög: –
γ szög: –
Terület: –
Kerület: –
m_a magasság: –
m_b magasság: –
m_c magasság: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

Mi a magasság, és melyik oldalhoz tartozik?

Fogd meg gondolatban a háromszöget az egyik csúcsánál, és tedd le a szemközti oldalával az asztalra. A magasság az, hogy milyen magasan van a felső csúcs. Rajzban: a csúcsból merőlegesen (derékszögben) húzott szakasz a szemközti oldalig.

A magasság mindig derékszöget zár be azzal az oldallal, amelyikre merőleges.

Ebből következik, hogy három magasság van, mert három csúcsból indulhatsz. Ha a feladat azt írja, hogy m_a, akkor az a oldalra merőleges magasságot kéri. Az index tehát az oldalt jelöli, nem a csúcsot.

Első lépés: mit adtak meg?

Ha van terület és oldal – ez a legkönnyebb eset, egy osztás.
Ha van három oldal – előbb terület, aztán osztás.
Ha a háromszög különleges (szabályos, egyenlő szárú, derékszögű) – van rá kész, rövidebb képlet.

Ha a harmadik esetbe esel, nézd meg a szabályos háromszög magassága vagy az egyenlő szárú háromszög magassága oldalt – ott egyetlen képlettel megvagy.

A legkönnyebb eset: terület és oldal

A háromszög területe T = a · m2. Ez a képlet visszafelé is olvasható: ha a területet ismered, csak ki kell fejezni belőle a magasságot. Szorozz kettővel, oszd el az oldallal.

A magasság a területbőlm = 2 · Ta

Kidolgozott példa · T = 45 cm², a = 9 cm

Mekkora a 9 cm-es oldalhoz tartozó magasság?

Írjuk fel a területképletet a keresett magassággal:45 = 9 · m2
Szorozzunk kettővel mindkét oldalon:90 = 9 · m
Osszunk 9-cel:m = 909 = 10 cm

Eredménym = 10 cm

Ha csak a három oldal van meg

Ilyenkor a Héron-képlet segít: a három oldalból területet ad. Előbb kiszámolod a félkerületet (s), ez a kerület fele, majd behelyettesítesz.

Héron-képletT = √s(s-a)(s-b)(s-c), s = a + b + c2

Kidolgozott példa · a = 7 cm, b = 6 cm, c = 5 cm

Mekkora a 7 cm-es oldalhoz tartozó magasság?

Félkerület:s = 7 + 6 + 52 = 9 cm
Terület:T = √9 · (9-7) · (9-6) · (9-5) = √9 · 2 · 3 · 4 = √216
Kiszámolva:T = 14,70 cm²
Végül a magasság:m_a = 2 · 14,707 = 4,20 cm

Eredménym_a = 4,20 cm

Ha a másik két magasság is kell, nem kell újraszámolni a területet: m_b = 2 · 14,706 = 4,90 cm és m_c = 2 · 14,705 = 5,88 cm.

Amin a legtöbben elcsúsznak

Rossz oldallal osztanak. A képletbe csak az az oldal kerülhet, amelyikre a keresett magasság merőleges.
Elfelejtik a kettes szorzót. A T = a · m2 képletben szerepel a felezés, ezért a magasságnál kettővel kell szorozni.
Azt hiszik, a magasság mindig a háromszögön belül van. Tompaszögű háromszögnél a magasság az oldal meghosszabbításáig ér, tehát kilóg – ettől még ugyanúgy számol.

Gyors önellenőrzés

Egy háromszög területe 30 cm², az egyik oldala 12 cm. Mekkora az ehhez az oldalhoz tartozó magasság?

m = 2 · 3012 = 5 cm.

Egy háromszög egyik oldala 10 cm, a hozzá tartozó magasság 7 cm. Mekkora a terület?

T = 10 · 72 = 35 cm². Ugyanaz a képlet, csak most a területet keressük.

Melyik csúcsból indul az m_b magasság?

A B csúcsból, mert az m_b a b oldalra merőleges, és a b oldal épp a B csúccsal szemközt van.

Gyakori kérdések

Hogyan kell kiszámolni a háromszög magasságát, ha ismerem a területet?

Szorozd meg a területet kettővel, és oszd el azzal az oldallal, amelyikhez a magasság tartozik: m = 2 · Ta. Ez minden háromszögre igaz, típustól függetlenül.

Mit csináljak, ha csak a három oldalt tudom?

Számolj félkerületet (s = a+b+c2), abból Héron-képlettel területet, végül oszd el a terület kétszeresét a megfelelő oldallal.

Melyik oldalhoz tartozik az m_a magasság?

Az a oldalhoz: erre merőleges, és a vele szemközti A csúcsból indul. Az index mindig az oldalt jelöli.

Lehet a magasság nagyobb, mint az oldal?

Igen. Egy keskeny, magas háromszögnél az alap lehet 2 cm, a magasság mégis 10 cm. A magasság hosszát csak a másik két oldal korlátozza: azoknál nem lehet hosszabb.

Hol tudom ellenőrizni a megoldásomat?

Írd be az adataidat a lap tetején lévő kalkulátorba: kiírja mindhárom magasságot, a területet és a kerületet is, így a saját számolásod azonnal összevethető.