Háromszög magasságvonal kiszámítása – egyenlet és hossz

A magasságvonal hossza

Három oldalból mindhárom magasságvonal hossza kijön – ez a magasság értéke.

azonnal számol

Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
c oldal: –
Felszín: –
β szög: –
γ szög: –
Terület: –
Kerület: –
m_a magasság: –
m_b magasság: –
m_c magasság: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

Magasságvonal, magasság, talppont

A három fogalom összetartozik, de nem ugyanaz. A magasságvonal egy egyenes, tehát mindkét irányban végtelen. A magasság ennek az a szakasza, amely a csúcstól a szemközti oldal egyeneséig tart – ennek van hossza. A talppont pedig az a pont, ahol a magasságvonal metszi a szemközti oldal egyenesét.

Az A csúcsból induló magasságvonal, a hozzá tartozó magassággal és talpponttal.

A hossz kiszámítása ugyanaz, mint bármelyik magasságnál: területet szerzel, majd osztasz. A fenti 12–9–7 cm-es háromszögnél a félkerület 14 cm, a Héron-terület √14 · 2 · 5 · 7 = 31,30 cm², így m_a = 2 · 31,3012 = 5,22 cm. Több módszer a háromszög magasságának kiszámítása oldalon.

A magasságvonal egyenlete koordináta-rendszerben

Ha a csúcsok koordinátáit adják meg, nem kell szerkeszteni. A kulcsgondolat: merőlegesség. A magasságvonal merőleges a szemközti oldalra, ezért az oldal irányvektora éppen a magasságvonal normálvektora lesz.

A módszer négy lépésben

IrányvektorVond ki egymásból a szemközti oldal két végpontjának koordinátáit: v = C − B.
NormálvektorEz a vektor lesz a magasságvonal normálvektora, változtatás nélkül.
EgyenletÍrd fel a v₁ x + v₂ y = v₁ x₀ + v₂ y₀ alakot azzal a csúccsal, amelyen a magasságvonal átmegy.
EllenőrzésHelyettesítsd vissza a csúcs koordinátáit – a két oldalnak egyenlőnek kell lennie.

Kidolgozott példa · A(1; 1), B(9; 3), C(5; 8)

Írjuk fel az A csúcsból induló magasságvonal egyenletét, és számoljuk ki a magasság hosszát!

A szemközti oldal a BC. Az irányvektora:v = C − B = (5-9; 8-3) = (-4; 5)
Ez lesz a magasságvonal normálvektora, az egyenes átmegy A(1; 1)-en:-4x + 5y = -4 · 1 + 5 · 1 = 1
Tehát a magasságvonal egyenlete (előjelet váltva is felírható):4x − 5y = -1
A hosszhoz kell a terület. A háromszög területe a koordinátákból 24 egység, a BC oldal hossza pedig:a = √(-4)² + 5² = √41 = 6,40
Innen a magasság:m_a = 2 · 24√41 = 486,40 = 7,50

EredményA magasságvonal egyenlete 4x − 5y = -1, a magasság hossza 7,50 egység.

A három magasságvonal metszéspontja

A háromszög három magasságvonala mindig egy pontban metszi egymást; ezt magasságpontnak nevezzük. Elég két magasságvonal egyenletét felírni és megoldani az egyenletrendszert – a harmadik automatikusan átmegy a metszésponton.

Kidolgozott példa · A(0; 0), B(6; 0), C(2; 4)

Hol van a háromszög magasságpontja?

Az AB oldal a vízszintes tengelyen fekszik, ezért a C-ből induló magasságvonal függőleges:x = 2
A BC oldal irányvektora (-4; 4), egyszerűsítve (-1; 1). Ez az A-ból induló magasságvonal normálvektora:-x + y = 0 → y = x
A két egyenes metszéspontja:x = 2 → y = 2
Ellenőrzés a harmadik magasságvonallal (a CA irányvektora (-2; -4), azaz (1; 2), az egyenes a B-n megy át):x + 2y = 6 → 2 + 2 · 2 = 6

EredményA magasságpont az M(2; 2) pont.

Hegyesszögű háromszögben a magasságpont a háromszög belsejében van.
Derékszögű háromszögben pontosan a derékszög csúcsa, mert két magasságvonal maga a két befogó.
Tompaszögű háromszögben a háromszögön kívülre esik.

Gyors önellenőrzés

Egy háromszög egyik oldalának irányvektora (3; -2). Mi lesz a rá merőleges magasságvonal normálvektora?

Ugyanez a vektor: (3; -2). Merőleges egyenesnél az egyik irányvektora a másik normálvektora, tehát a magasságvonal egyenlete 3x − 2y = c alakú.

Mekkora a magasság, ha a terület 24 egység, a hozzá tartozó oldal pedig 6,40 egység hosszú?

m = 2 · 246,40 = 7,50 egység.

Miért nem elég a magasságvonal egyenlete a magasság hosszának megadásához?

Mert az egyenes végtelen. A hosszhoz ki kell számolni a talppontot (a két egyenes metszéspontját), és megmérni a csúcstól való távolságot – vagy egyszerűen a m = 2 · Ta képletet használni.

Gyakori kérdések

Hogyan írom fel a magasságvonal egyenletét?

Vedd a szemközti oldal irányvektorát – ez lesz a magasságvonal normálvektora –, majd írd fel a v₁ x + v₂ y = v₁ x₀ + v₂ y₀ egyenletet azzal a csúccsal, amelyen a vonal áthalad.

Mi a különbség a magasság és a magasságvonal között?

A magasságvonal egy egyenes, a magasság pedig ennek a csúcstól a szemközti oldal egyeneséig tartó szakasza. A feladatok „magasságvonal hossza" alatt mindig a magasságot értik.

Hogyan számolom ki a magasságvonal hosszát koordinátákból?

Két út van: a csúcs és a szemközti oldal egyenesének távolságát számolod ki, vagy a koordinátákból területet határozol meg, és a m = 2 · Ta képletet használod.

Hol metszi egymást a három magasságvonal?

A magasságpontban. Hegyesszögű háromszögnél belül, derékszögűnél a derékszög csúcsában, tompaszögűnél a háromszögön kívül van.

A magasságvonal ugyanaz, mint a súlyvonal?

Nem. A súlyvonal a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával köti össze, a magasságvonal viszont merőleges a szemközti oldalra. Egyenlő szárú háromszögben az alaphoz tartozó kettő egybeesik, egyébként nem.