Nevezetes vonalak és pontok
A háromszög súlyvonalának egyenlete
Koordinátageometriai feladat: adott három csúcs, keresed a súlyvonal egyenletét. A menet mindig ugyanaz – és a végén a súlypont ingyen ellenőrzést ad.
Röviden a válasz
A súlyvonal az A csúcson és a szemközti BC oldal F felezőpontján átmenő egyenes. Számold ki a felezőpontot (F = (xB + xC2; yB + yC2)), vedd az AF vektort irányvektornak, forgasd el normálvektorrá, és írd fel az egyenes egyenletét.
Ha az irányvektor v = (v1; v2), akkor a normálvektor n = (v2; -v1), az egyenlet pedig v2 · x − v1 · y = v2 · xA − v1 · yA.
A megoldás menete – négy lépés
Így írod fel a súlyvonal egyenletét
- Melyik oldal felezőpontja kell?Az A csúcsból induló súlyvonal a szemközti BC oldal felezőpontjába megy. Ez a leggyakoribb elrontott lépés.
- FelezőpontA koordináták számtani közepe: F = (xB + xC2; yB + yC2).
- IrányvektorAz AF vektor: a végpont mínusz a kezdőpont. Egyszerűsítheted, ha van közös osztó.
- EgyenletA normálvektor az irányvektor koordinátáinak felcserélése egy előjelváltással, majd behelyettesítesz az n1 · x + n2 · y = n1 · x0 + n2 · y0 alakba.
Kidolgozott példa
Kidolgozott példa · A(−2; 1), B(6; 3), C(2; 11)
Írjuk fel az A csúcsból induló súlyvonal egyenletét!
- A BC oldal felezőpontja:F = (6 + 22; 3 + 112) = (4; 7)
- Az irányvektor az A-ból F-be:v = (4 − (-2); 7 − 1) = (6; 6) → (1; 1)
- Ebből a normálvektor:n = (1; -1)
- Behelyettesítés az A(-2; 1) ponttal:1 · x − 1 · y = 1 · (-2) − 1 · 1 = -3
- A súlyvonal egyenlete tehát:x − y = -3, azaz y = x + 3
EredményA súlyvonal egyenlete x − y = -3.
Ellenőrizni egyszerű: az egyenletnek mind a két ismert pontra teljesülnie kell. A(-2; 1)-re -2 − 1 = -3 ✔, F(4; 7)-re 4 − 7 = -3 ✔.
Második súlyvonal és a súlypont
Ha két súlyvonal egyenletét is felírod, a metszéspontjuk a súlypont. Ez a legjobb önellenőrzés, mert a súlypont koordinátái külön képlettel is kijönnek.
Kidolgozott példa · A B csúcsból induló súlyvonal ugyanebben a háromszögben
Írjuk fel a B-ből induló súlyvonal egyenletét, és keressük meg a súlypontot!
- A CA oldal felezőpontja:Fb = (2 + (-2)2; 11 + 12) = (0; 6)
- Irányvektor B(6; 3)-ból:v = (0 − 6; 6 − 3) = (-6; 3) → (-2; 1)
- Normálvektor és egyenlet:n = (1; 2), x + 2 · y = 6 + 2 · 3 = 12
- A két egyenlet közös megoldása (x = y − 3 behelyettesítve):(y − 3) + 2 · y = 12 → 3 · y = 15 → y = 5
- Vagyis a metszéspont:S(2; 5)
EredményA második súlyvonal egyenlete x + 2y = 12, a súlypont S(2; 5).
A súlyvonal hossza és egyéb alakok
Ha nem az egyenlet, hanem a hossz a kérdés, elég a két végpont távolsága. A példában |AF| = √62 + 62 = √72 = 8,49 egység. A csúcs és a súlypont távolsága ennek a kétharmada, azaz 5,66 egység.
| Alak | Képlet | A példában |
|---|---|---|
| Normálvektoros | n1 x + n2 y = n1 x0 + n2 y0 | x − y = -3 |
| Iránytényezős | y = m · x + b | y = x + 3 |
| Paraméteres | (x; y) = (x0; y0) + t · v | (x; y) = (-2; 1) + t · (1; 1) |
Az iránytényező az irányvektorból adódik: m = v2v1 = 11 = 1. Ha v1 = 0, az egyenes függőleges, ilyenkor nincs iránytényező, az egyenlet pedig egyszerűen x = x0 alakú.
Ellenőrizd magad
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög csúcsai A(0; 0), B(8; 2), C(2; 6). Mi a BC oldal felezőpontja?
Ugyanebben a háromszögben mi az A-ból induló súlyvonal egyenlete?
Miért elég két súlyvonal a súlypont megkereséséhez?
A súlyvonal geometriai tulajdonságairól (hossz, 2:1 osztás, speciális háromszögek) a háromszög súlyvonala oldalon, a metszéspontról pedig a háromszög súlypontja oldalon olvashatsz.
Gyakori kérdések
Hogyan írom fel a súlyvonal egyenletét?
Számold ki a szemközti oldal felezőpontját, vedd a csúcsból oda mutató vektort irányvektornak, ebből képezz normálvektort (a koordináták felcserélése egy előjelváltással), majd helyettesíts be az n1 x + n2 y = n1 x0 + n2 y0 alakba.
Melyik oldal felezőpontja kell a súlyvonalhoz?
Mindig a csúccsal szemközti oldalé. Az A-ból induló súlyvonal a BC oldal felezőpontjába megy, a B-ből induló a CA-éba.
Hogyan ellenőrizhetem az eredményt?
Helyettesítsd be az egyenletbe a csúcsot és a felezőpontot is – mindkettőre teljesülnie kell. Ha két súlyvonalat is felírtál, a metszéspontjuknak meg kell egyeznie a súlypont képletéből kapott ponttal.
Mi a súlypont koordinátáinak képlete?
A három csúcs koordinátáinak számtani közepe: S = (xA + xB + xC3; yA + yB + yC3).
Mekkora a súlyvonal hossza koordinátákból?
A csúcs és az oldalfelező pont távolsága: √(xF − xA)2 + (yF − yA)2. A csúcs és a súlypont távolsága ennek pontosan a kétharmada.