Szerkesztés
Háromszög magasságvonalának szerkesztése
A magasságvonal szerkesztése mindig ugyanaz a négy körzőnyitás – akkor is, ha a talppont az oldalon van, és akkor is, ha kicsúszik mellőle. Itt végigmegyünk mind a három háromszögtípuson.
Röviden a válasz
A magasságvonal szerkesztése egyetlen alapszerkesztés: merőlegest állítasz a csúcsból a szemközti oldal egyenesére. A csúcsból körzővel kimetszed az oldalegyenes két pontját, majd erre a két pontra megszerkeszted a szakaszfelező merőlegest – ez megy át a csúcson, és ez a magasságvonal.
A csúcs és a talppont közötti szakasz a magasság, a teljes egyenes a magasságvonal. Tompaszögű háromszögben a talppont az oldal meghosszabbítására esik, ezért ott az oldalt előbb meg kell hosszabbítani.
Mekkora lesz a megszerkesztett magasság?
Írd be a három oldalt, és ellenőrizd vonalzóval, hogy a rajzod stimmel-e.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Magasságvonal, magasság, talppont – mit szerkesztesz pontosan?
A magasságvonal az az egyenes, amely egy csúcsból indul, és merőleges a szemközti oldal egyenesére. Ahol ez az egyenes metszi az oldalt (vagy az oldal meghosszabbítását), az a talppont. A csúcs és a talppont közötti szakasz hossza a magasság, jele ma, mb, mc aszerint, hogy melyik oldalra merőleges.
Az index tehát nem a csúcsot jelöli, hanem az oldalt: ma az a oldalra merőleges, és a vele szemközti A csúcsból indul. Minden háromszögnek három magasságvonala van.
A szerkesztés menete körzővel és vonalzóval
A feladat mindig ugyanaz: adott egy pont (a csúcs) és egy egyenes (a szemközti oldal egyenese), és merőlegest kell állítani a pontból az egyenesre. Ehhez elég a körző – a vonalzót csak az egyenesek meghúzására használod, mérésre nem.
Magasságvonal szerkesztése az A csúcsból az a oldalra
- Hosszabbítsd meg az oldaltHúzd meg az a oldal egyenesét mindkét irányban túl a B és C csúcson. Erre akkor lesz szükséged, ha a talppont a háromszögön kívülre esik – de jobb előre megrajzolni.
- Metssz ki két pontot az egyenesenSzúrd a körzőt az A csúcsba, és akkora sugárral rajzolj kört, hogy az két pontban messe az a oldal egyenesét. Ez a két pont legyen P és Q.
- Rajzolj két azonos sugarú kört P-ből és Q-bólA körző nyílását most már ne változtasd meg (bármekkora lehet, ha nagyobb a PQ felénél). Szúrj P-be, húzz egy ívet, majd szúrj Q-ba ugyanakkora sugárral – az ívek két pontban metszik egymást.
- Húzd meg a magasságvonalatKösd össze vonalzóval a két metszéspontot. Ez az egyenes merőleges az a oldalra, és átmegy az A csúcson – ez a magasságvonal.
- Jelöld be a talppontot és a derékszögetAhol a magasságvonal metszi az a oldal egyenesét, ott van a talppont. Rajzold be a derékszög jelét, és jelöld ma-val a csúcstól a talppontig tartó szakaszt.
Hol lesz a talppont? Három eset
A szerkesztés lépései nem változnak, csak a rajz néz ki másképp. Ez a táblázat megmondja, mire számíts, mielőtt hozzákezdesz:
| Háromszög | Hol vannak a talppontok? | Hol metszik egymást a magasságvonalak? |
|---|---|---|
| Hegyesszögű | Mindhárom talppont az oldalon belül van. | A háromszög belsejében. |
| Derékszögű | Két talppont maga a derékszög csúcsa. | Pontosan a derékszög csúcsában. |
| Tompaszögű | Két talppont az oldalak meghosszabbítására esik. | A háromszögön kívül. |
Derékszögű háromszög magasságvonalának szerkesztése
Derékszögű háromszögben két magasságvonalat nem is kell szerkeszteni: a két befogó merőleges egymásra, tehát a befogók egyben magasságvonalak is. Egyedül az átfogóhoz tartozó magasságvonalat kell megrajzolni – azt a derékszög csúcsából állítod merőlegesen az átfogóra a fenti négy lépéssel.
Kidolgozott példa · Befogók: 6 cm és 8 cm
Szerkeszd meg az átfogóhoz tartozó magasságvonalat, és számold ki, milyen hosszú lesz a magasság!
- Az átfogó Pitagorasz-tétellel:c = √62 + 82 = √100 = 10 cm
- A terület a két befogóból:T = 6 · 82 = 24 cm2
- Ugyanez a terület az átfogóval és a hozzá tartozó magassággal:T = c · mc2 → mc = 2 · 2410
- Vagyis a C csúcsból az átfogóra állított merőleges hossza:mc = 4,8 cm
Eredménymc = 4,8 cm – ennyit kell mérned a rajzon a derékszög csúcsától a talppontig.
Egyenlő szárú háromszög: a magasságvonal egyben szimmetriatengely
Egyenlő szárú háromszögben az alaphoz tartozó magasságvonal egybeesik az alap szakaszfelező merőlegesével, a szárszög szögfelezőjével és a súlyvonallal is. Ezért itt elég az alap szakaszfelező merőlegesét megszerkeszteni: az automatikusan átmegy a csúcson.
Kidolgozott példa · Alap: 16 cm, szárak: 10 cm
Mekkora lesz az alaphoz tartozó magasság a szerkesztés után?
- A magasságvonal felezi az alapot, tehát a fél alap:162 = 8 cm
- A szár, a fél alap és a magasság derékszögű háromszöget alkot:m2 + 82 = 102
- Átrendezve:m = √100 − 64 = √36
- Vagyis:m = 6 cm
Eredménym = 6 cm
A szárakhoz tartozó magasságvonalak viszont nem esnek egybe semmivel: azokat ugyanúgy, merőlegesállítással kell megszerkeszteni. Ez a különbség sok dolgozatpontot visz el.
A három magasságvonal egy pontban metszi egymást
Ha mindhárom magasságvonalat megszerkeszted, azok egyetlen pontban találkoznak: ez a magasságpont. Ez egyben a szerkesztésed legjobb ellenőrzése – ha a harmadik vonal nem megy át a másik kettő metszéspontján, valamelyik merőleges pontatlan lett.
A magasságpont helye a háromszög fajtájától függ: hegyesszögűnél belül, derékszögűnél épp a derékszög csúcsában, tompaszögűnél a háromszögön kívül van. A többi nevezetes vonalról a háromszög nevezetes vonalai oldalon olvashatsz.
Gyors önellenőrzés
Miért kell néha meghosszabbítani az oldalt a magasságvonal szerkesztése előtt?
Hány magasságvonalat kell ténylegesen megszerkeszteni egy derékszögű háromszögben?
Egy háromszög területe 30 cm², az egyik oldala 12 cm. Milyen hosszú lesz az ehhez az oldalhoz tartozó magasság a rajzon?
Mi a különbség a magasság és a magasságvonal között?
Gyakori kérdések
Hogyan kell megszerkeszteni a háromszög magasságvonalát?
A csúcsból körzővel metssz ki két pontot a szemközti oldal egyenesén, majd erre a két pontra szerkeszd meg a szakaszfelező merőlegest. Ez az egyenes átmegy a csúcson, és merőleges az oldalra – ez a magasságvonal.
Hogyan szerkesztem meg a derékszögű háromszög magasságvonalát?
A két befogó eleve merőleges egymásra, tehát azok magasságvonalak is. Csak az átfogóhoz tartozót kell megszerkeszteni: a derékszög csúcsából állíts merőlegest az átfogóra. Hossza mc = a · bc.
Mi van, ha a magasságvonal a háromszögön kívülre esik?
Ez tompaszögű háromszögben normális. Hosszabbítsd meg az oldal egyenesét, és arra állítsd a merőlegest. A magasság hossza ettől még ugyanúgy használható a területképletben.
Elég a vonalzó a magasságvonal szerkesztéséhez?
Derékszögű vonalzóval oda lehet illeszteni a merőlegest, de dolgozatban rendszerint körzős szerkesztést kérnek, mert csak az tekinthető pontos, indokolható szerkesztésnek. A körzős eljárás ráadásul akkor is működik, ha a talppont kicsúszik az oldalról.
Hány magasságvonala van egy háromszögnek, és hol metszik egymást?
Három, minden csúcsból egy. A három egyenes egy közös pontban, a magasságpontban metszi egymást: hegyesszögű háromszögben belül, derékszögűben a derékszög csúcsában, tompaszögűben a háromszögön kívül.
Egyenlő szárú háromszögben mivel esik egybe a magasságvonal?
Az alaphoz tartozó magasságvonal egyben szimmetriatengely: egybeesik az alap szakaszfelező merőlegesével, a szárszög szögfelezőjével és az alaphoz tartozó súlyvonallal. A szárakhoz tartozó magasságvonalakra ez nem igaz.