MatematikaMódszertan– főoldal

Szerkesztés

Derékszögű háromszög szerkesztése

Derékszögű háromszöghöz elég két adat. Hogy melyik szerkesztéssel indulj, azon múlik, hogy a derékszög két szára ismert-e, vagy az átfogó – a Thalész-kör az utóbbi esetre való.

Frissítve: 3 perc olvasás7–10. osztály

Röviden a válasz

Ha a két befogót ismered, szerkessz derékszöget: mérd fel az egyik befogót, állíts rá merőlegest a végpontjában, arra mérd fel a másik befogót, és kösd össze a végpontokat.

Ha egy befogót és az átfogót ismered, az átfogó fölé rajzolj Thalész-kört (az átfogó a kör átmérője). Az egyik végpont köré a befogónyi sugárral rajzolt kör metszéspontja a körön adja a derékszög csúcsát.

Ellenőrizd a szerkesztést

Adj meg két adatot – a hiányzó oldalt és a szögeket megkapod, így lemérheted a rajzodat.

azonnal számol

Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.

Bemeneti adatok
a = 8 cmb = 15 cmc = 17 cmABC
Példa:
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

    Jelölés: hol van a derékszög?

    A megállapodás szerint a derékszög a C csúcsban van, ezért a vele szemközti c oldal az átfogó – ez a leghosszabb oldal. Az a és b oldalak a befogók, ezek fogják közre a derékszöget. Ha a feladat „2 oldalt" ad meg, először azt kell eldöntened, hogy két befogóról vagy egy befogóról és az átfogóról van-e szó.

    αβa = 5 cmb = 12 cmc = 13 cmABC
    A derékszög a C csúcsnál van, az átfogó vele szemközt.

    Szerkesztés két befogóból

    a = 5 cm és b = 12 cm befogó

    1. Mérd fel az egyik befogótHúzz egy egyenest, és vedd fel rajta a C pontot. Onnan mérd fel körzővel a b = 12 cm-t: így kapod az A csúcsot.
    2. Állíts merőlegest a C pontbanA C köré rajzolt kör két pontban metszi az egyenest; ezekre szerkeszd meg a szakaszfelező merőlegest. A kapott egyenes merőleges, és átmegy C-n.
    3. Mérd fel a másik befogótA merőlegesre C-től mérd fel az a = 5 cm-t – ez a B csúcs.
    4. Kösd összeAz A és B pont összekötése adja az átfogót. Ha jól dolgoztál, ez 13 cm lesz.

    Kidolgozott példa · Két befogó: 5 cm és 12 cm

    Mekkora lesz az átfogó, és milyen szögeket mérsz a rajzon?

    1. Az átfogó Pitagorasz-tétellel:c = √52 + 122 = √169 = 13 cm
    2. Az a befogóval szemközti szög tangense:tg α = 512 = 0,4167 → α = 22,62°
    3. A másik hegyesszög:β = 90° − 22,62° = 67,38°

    EredményAz átfogó 13 cm, a hegyesszögek kb. 22,6° és 67,4°.

    Szerkesztés befogóból és átfogóból – Thalész-kör

    Itt nem tudsz derékszöget felmérni, mert nem ismered a derékszög csúcsának helyét. A Thalész-tétel viszont pontosan ezt adja meg: az átmérő fölé rajzolt félkör minden pontjából derékszögben látszik az átmérő. Tehát a derékszög csúcsa rajta van az átfogó fölé rajzolt körön.

    c = 17 cm átfogó, a = 8 cm befogó

    1. Mérd fel az átfogótVedd fel az A és B pontot 17 cm távolságra – ez lesz az átfogó.
    2. Szerkeszd meg a felezőpontjátAz AB szakaszfelező merőlegese kimetszi a szakasz F felezőpontját.
    3. Rajzolj Thalész-körtSzúrd a körzőt F-be, a sugár 172 = 8,5 cm, és rajzolj kört (elég a félkör).
    4. Mérd fel a befogótA B csúcs köré rajzolj a = 8 cm sugarú kört. Ahol ez metszi a Thalész-kört, ott van a C csúcs.
    5. Kösd összeA C pontot kösd össze A-val és B-vel. A C csúcsnál automatikusan derékszög van.

    Kidolgozott példa · Átfogó: 17 cm, egyik befogó: 8 cm

    Mekkora lesz a másik befogó, és hol metszi egymást a két kör?

    1. A másik befogó a Pitagorasz-tételből:b = √172 − 82 = √289 − 64 = √225
    2. Vagyis:b = 15 cm
    3. A befogónyi kör a Thalész-kört két pontban metszi (az átfogó két oldalán), de a két háromszög egymás tükörképe, ezért egy megoldásnak számít.a = 8 cm, b = 15 cm, c = 17 cm

    EredményA másik befogó 15 cm.

    Oa = 8 cmb = 15 cmc = 17 cmABC

    Befogó és hegyesszög

    Ez a legrövidebb eset: mérd fel a befogót, az egyik végpontjában állíts merőlegest (ott lesz a derékszög), a másik végpontjában pedig szögmérővel vagy szögmásolással vidd fel a hegyesszöget. A két szár metszéspontja a harmadik csúcs. Mivel a hegyesszögek összege 90°, a második hegyesszöget már nem kell felmérni – az magától kijön.

    Az átfogóhoz tartozó magasságvonalat a derékszög csúcsából állított merőlegessel kapod meg; ennek szerkesztését a magasságvonal szerkesztése oldalon nézheted meg lépésről lépésre.

    Gyors önellenőrzés

    Miért nem lehet két befogóból Thalész-körrel szerkeszteni?
    Mert a Thalész-körhöz az átfogóra van szükség (az a kör átmérője). Két befogó esetén viszont nincs is rá szükség: ott a derékszög két szárát tudod közvetlenül felmérni.
    Adott az átfogó 10 cm és az egyik befogó 6 cm. Mekkora a másik befogó?
    b = √102 − 62 = √64 = 8 cm.
    Hány megoldása van a szerkesztésnek, ha az átfogó 12 cm és az egyik hegyesszög 30°?
    Egy. Az átfogó és egy hegyesszög egyértelműen meghatározza a háromszöget, a harmadik szög 60°.

    Gyakori kérdések

    Hogyan szerkesztünk derékszögű háromszöget 2 oldalból?

    Ha a két befogó adott, mérd fel az egyiket, a végpontjában állíts merőlegest, és arra mérd fel a másikat. Ha egy befogó és az átfogó adott, az átfogó fölé Thalész-kört rajzolsz, és a befogónyi kör metszéspontja adja a derékszög csúcsát.

    Mi az a Thalész-kör, és miért kell a szerkesztéshez?

    Az átfogó mint átmérő fölé rajzolt kör. A Thalész-tétel szerint a kör bármely pontjából derékszögben látszik az átmérő, így a kör minden pontja jó jelölt a derékszög csúcsának.

    Hogyan szerkesztem meg a derékszögű háromszög magasságvonalát?

    A két befogó eleve merőleges egymásra, tehát azok magasságvonalak is. Csak az átfogóhoz tartozót kell megszerkeszteni: a derékszög csúcsából állíts merőlegest az átfogóra.

    Elég-e a derékszög és egy oldal a szerkesztéshez?

    Nem. A derékszög egy adat, mellé még két független adat kell: két oldal, vagy egy oldal és egy hegyesszög. Egyetlen oldalból végtelen sok derékszögű háromszög rajzolható.

    Miért nem számít két megoldásnak az átfogó két oldalán kapott háromszög?

    Mert a két háromszög egymás tükörképe, tehát egybevágó. A diszkusszióban az egybevágó megoldásokat egynek tekintjük.

    Hova tovább?

    Magasságvonal szerkesztéseHáromszög magasságvonal szerkesztése lépésről lépésre: merőleges állítása körzővel a csúcsból a …Derékszögű háromszög oldalaiDerékszögű háromszög oldalainak kiszámítása két adatból: Pitagorasz-tétel két oldalhoz, szögfügg…Szerkesztés alapeseteiA háromszög szerkesztés négy alapesete: három oldal, két oldal és a közbezárt szög, egy oldal és…Derékszögű háromszög tulajdonságaiA derékszögű háromszög tulajdonságai: hegyesszögek összege 90°, Pitagorasz-tétel, Thalész-kör, m…Derékszögű háromszög magasságvonalaiA derékszögű háromszög két magasságvonala maga a két befogó, a harmadik az átfogóra merőleges. H…Szerkesztés körzővelHáromszög szerkesztése körzővel három oldalból, plusz a négy alapszerkesztés: szakaszmásolás, sz…

    Írj be legalább két betűt. A nyilakkal léphetsz, Enterrel megnyitod.