Szerkesztés
Háromszög szerkesztése körzővel
A körző egyetlen dolgot tud: egyenlő távolságú pontokat kimérni. Ebből az egy műveletből épül fel az összes szerkesztés – a szögmásolás és a merőleges is.
Röviden a válasz
Három oldalból körzővel így szerkesztesz: mérd fel az egyik oldalt egy egyenesre, majd a két végpontja köré rajzolj a másik két oldal hosszával mint sugárral egy-egy körívet. Az ívek metszéspontja a harmadik csúcs.
A körző nem „rajzeszköz": azt jelöli ki, hogy mely pontok vannak egy adott ponttól adott távolságra. Ezért lehet vele szakaszt és szöget másolni, merőlegest és szögfelezőt szerkeszteni – szögmérő nélkül is.
Mit tud a körző, és mit a vonalzó?
A szerkesztés szabálya szerint a vonalzót csak egyenes húzására használhatod, a beosztását nem. Minden hosszúságot a körző visz át egyik helyről a másikra. Ez elsőre kényelmetlennek tűnik, cserébe viszont a szerkesztés pontos és indokolható – nem függ attól, hogy mennyire jól olvasod le a milliméteres skálát.
Háromszög három oldalból, csak körzővel
a = 7 cm, b = 6 cm, c = 4 cm
- Válaszd ki a kiinduló oldaltKezdj a leghosszabbal: húzz egy egyenest, és mérd fel rá a körzővel az a = 7 cm-t. A végpontok legyenek B és C.
- Körív a B pont körülNyisd a körzőt c = 4 cm-re, szúrd B-be, és rajzolj ívet az egyenes fölé.
- Körív a C pont körülNyisd a körzőt b = 6 cm-re, szúrd C-be, és rajzolj ívet. A két ív metszéspontja az A csúcs.
- Húzd meg az oldalakatKösd össze A-t B-vel és C-vel. A körívek maradjanak a rajzon – azok bizonyítják a szerkesztést.
Kidolgozott példa · a = 7 cm, b = 6 cm, c = 4 cm – ellenőrzés
Mekkora a legnagyobb szög, és hegyesszögű lesz-e a háromszög?
- A legnagyobb szög a leghosszabb oldallal szemközti α. Koszinusztétellel:cos α = b2 + c2 − a22 · b · c = 36 + 16 − 4948
- Vagyis:cos α = 348 = 0,0625 → α = 86,42°
- Mivel a legnagyobb szög is kisebb 90°-nál, a háromszög hegyesszögű – de épp csak.86,42° < 90°
EredményA legnagyobb szög kb. 86,4°; a háromszög hegyesszögű.
A négy alapszerkesztés
Ha ezt a négyet tudod, minden szerkesztési feladatot össze tudsz rakni belőlük. Mindegyik ugyanarra épül: azonos sugarú körívekkel egyenlő távolságú pontokat keresel.
| Mit szerkesztesz? | Hogyan? | Mire jó? |
|---|---|---|
| Szakasz másolása | A körzőt a szakasz hosszára nyitod, és a végpontból felméred a másik helyre. | Oldalak felmérése bármelyik szerkesztésnél. |
| Szakaszfelező merőleges | A két végpont köré azonos, a fél szakasznál nagyobb sugarú ívet rajzolsz, és összekötöd a metszéspontokat. | Felezőpont, merőleges, a köré írt kör középpontja. |
| Merőleges egy külső pontból | A pontból két pontot metszel ki az egyenesen, majd azokra szakaszfelező merőlegest szerkesztesz. | Magasságvonal, derékszög szerkesztése. |
| Szögfelezés és szögmásolás | A szög csúcsa köré ívet rajzolsz, a két metszéspont köré újabb azonos íveket – ezek metszéspontja adja a felezőt. | Szög átvitele másik ábrára szögmérő nélkül. |
A magasságvonal szerkesztése a harmadik alapszerkesztés közvetlen alkalmazása; a lépéseket a magasságvonal szerkesztése oldalon néztük végig.
Szögek szögmérő nélkül
Néhány szöget körzővel pontosabban kapsz meg, mint szögmérővel. A 60°-os szög egy szabályos háromszög szerkesztéséből adódik, és innen felezéssel jutsz tovább:
- 60° – azonos sugarú ívek: szabályos háromszög szerkesztése.
- 30° – a 60° felezésével.
- 90° – merőleges állításával.
- 45° – a 90° felezésével.
- 120° – két 60° egymás mellé mérésével.
Gyors önellenőrzés
Miért nem szabad a vonalzó beosztását használni a szerkesztésnél?
Melyik alapszerkesztésre vezethető vissza a magasságvonal megrajzolása?
Mekkora sugárral kell dolgozni a szakaszfelező merőleges szerkesztésekor?
Gyakori kérdések
Hogyan szerkesztünk háromszöget körzővel három oldalból?
Mérd fel az egyik oldalt egy egyenesre, majd a két végpontja köré rajzolj a másik két oldal hosszával mint sugárral köríveket. A metszéspont a harmadik csúcs.
Lehet-e szögmérő nélkül szöget felmérni?
Igen, szögmásolással: a szög csúcsa köré és a másolat csúcsa köré azonos sugarú ívet rajzolsz, majd körzővel átméred a szárak közötti távolságot. Így a szög pontosan átkerül az új helyre.
Miért nem metszi egymást a két körív a szerkesztésnél?
Mert a két rövidebb oldal összege nem nagyobb a leghosszabbnál, vagyis sérül a háromszög-egyenlőtlenség. Ilyenkor a háromszög nem szerkeszthető meg.
Mit szabad használni a szerkesztésnél a körzőn kívül?
Beosztás nélküli vonalzót az egyenesek meghúzására. Szögmérőre csak akkor van szükség, ha a feladat olyan szöget ad meg, amely körzővel nem szerkeszthető – például 40°-ot.
Miért kell meghagyni a köríveket a rajzon?
Mert a segédívek mutatják meg, milyen lépésekkel dolgoztál. Ezek nélkül a rajz csak egy háromszög, nem szerkesztés – a dolgozatban emiatt pontlevonás járhat.