Szerkesztés
A háromszög szerkeszthetősége
A szerkesztés előtti fél perc dönti el, hogy lesz-e egyáltalán megoldás. Itt az összes feltétel egy helyen – és a legravaszabb eset, amikor két különböző háromszög is jó.
Röviden a válasz
Egy háromszög pontosan akkor szerkeszthető meg, ha az adatai nem mondanak ellent egymásnak. Oldalakra a háromszög-egyenlőtlenség a feltétel: bármelyik két oldal összege nagyobb a harmadiknál, vagyis a + b > c, b + c > a és a + c > b. Szögekre a feltétel a 180°-os szögösszeg.
Ha az adatok teljesítik a feltételeket, még mindig kérdés, hány megoldás van. Két oldal és a kisebbikkel szemközti szög esetén például 0, 1 vagy 2 háromszög is kijöhet – ezt nevezzük diszkussziónak.
Három oldal: a háromszög-egyenlőtlenség
Ha három oldalhosszt kapsz, elég egyetlen összehasonlítás: a két rövidebb oldal összegét vesd össze a leghosszabbal. Ha az összeg nagyobb, a háromszög megszerkeszthető, ha nem, akkor a két rövidebb oldal körívei nem érnek össze.
Kidolgozott példa · Megszerkeszthető-e a 4 cm, 6 cm, 11 cm oldalú háromszög?
Döntsd el számolással, majd indokold meg a körívekkel!
- A két rövidebb oldal összege:4 + 6 = 10 cm
- Ezt hasonlítjuk a leghosszabb oldalhoz:10 < 11
- A feltétel nem teljesül, tehát nincs ilyen háromszög. Szerkesztéskor ez úgy néz ki, hogy a 11 cm-es szakasz végpontjai köré rajzolt 4 és 6 cm sugarú körök nem metszik egymást: 1 cm hézag marad köztük.11 − (4 + 6) = 1 cm hézag
EredményNem szerkeszthető meg.
A feltétel másik alakja néha gyorsabb: a hiányzó harmadik oldal mindig a másik kettő különbsége és összege között van. Ha a = 5 cm és b = 7 cm, akkor a harmadik oldalra 2 < c < 12 cm teljesül. Erről részletesen a háromszög-egyenlőtlenség oldalon írunk.
Szögek: a 180°-os korlát
Ha szögek is szerepelnek az adatok között, a megadott szögek összege kisebb kell legyen 180°-nál (két szög esetén), illetve pontosan 180° (három szög esetén). Két szög és egy oldal mindig egyértelmű háromszöget ad, ha a szögösszeg feltétele teljesül.
- α = 65°, β = 75°, γ = 50° → az összeg 190°, tehát nincs ilyen háromszög.
- α = 65°, β = 75° és c = 8 cm → az összeg 140° < 180°, a harmadik szög 40°, a háromszög egyértelműen megszerkeszthető.
- Három szög önmagában (60°, 60°, 60°) végtelen sok háromszöget ad: ezek hasonlók, de nem egybevágók, mert egyetlen oldal sincs megadva.
A kényes eset: két oldal és egy szög
Ha két oldalt és a nagyobbikkal szemközti szöget kapod, pontosan egy megoldás van. Ha viszont a kisebbikkel szemközti szög adott, három dolog történhet: nulla, egy vagy két háromszög is illeszkedhet az adatokra. Ez a szerkesztés diszkussziója.
Kidolgozott példa · a = 5 cm, b = 7 cm, α = 40°
Hány háromszög szerkeszthető meg ezekből az adatokból?
- Mérd fel az α = 40°-os szöget, egyik szárára a b = 7 cm-es oldalt. A C csúcs köré a = 5 cm sugarú kört rajzolsz – ez metszi a másik szárat.b = 7 cm, a = 5 cm
- A C pont távolsága a másik szártól (vagyis a szárra állított merőleges):d = 7 · sin 40° = 7 · 0,6428 = 4,50 cm
- Mivel a kör sugara ennél nagyobb, de a b oldalnál kisebb, a kör két pontban metszi a szárat:4,50 < 5 < 7
- Vagyis két különböző háromszög is megfelel; a β szög kétféle lehet:sin β = 7 · sin 40°5 = 0,90 → β = 64,1° vagy β = 115,9°
EredményKét megoldás van: az egyik hegyesszögű, a másik tompaszögű háromszög.
| Feltétel | Megoldások száma | Mit látsz a rajzon? |
|---|---|---|
| a < b · sin α | 0 | A kör nem éri el a szög másik szárát. |
| a = b · sin α | 1 (derékszögű) | A kör érinti a szárat. |
| b · sin α < a < b | 2 | A kör két pontban metszi a szárat. |
| a ≥ b | 1 | A második metszéspont a szög csúcsa mögé esik, ezért csak egy használható. |
Így írd le a diszkussziót a füzetben
- Írd fel az adatokat, és ellenőrizd a háromszög-egyenlőtlenséget vagy a szögösszeget.
- Ha valamelyik feltétel sérül, írd le: „A háromszög nem szerkeszthető meg, mert…" – és itt vége a feladatnak.
- Ha teljesülnek a feltételek, szerkessz, majd nézd meg, hány metszéspontod lett a döntő körívnél.
- A záró mondat mindig a megoldások száma: „A feladatnak egy (illetve két) megoldása van."
Gyors önellenőrzés
Megszerkeszthető-e a 3 cm, 9 cm, 5 cm oldalú háromszög?
Milyen határok közé eshet a harmadik oldal, ha két oldal 6 cm és 10 cm?
Hány háromszög szerkeszthető meg, ha α = 50°, β = 60° és az általuk közrefogott oldal 7 cm?
Gyakori kérdések
Mikor szerkeszthető meg egy háromszög három oldalból?
Ha bármelyik két oldal összege nagyobb a harmadiknál. Elég a két rövidebbet összeadni és a leghosszabbal összevetni: ha az összeg nagyobb, a háromszög megszerkeszthető.
Mit jelent az, hogy a feladatnak két megoldása van?
Azt, hogy az adatokra két, egymással nem egybevágó háromszög is illeszkedik. Tipikusan akkor fordul elő, ha két oldal és a kisebbikkel szemközti szög adott: ilyenkor a körív két pontban metszi a szög szárát.
Szerkeszthető-e háromszög, ha a két rövidebb oldal összege pontosan egyenlő a harmadikkal?
Nem. Ilyenkor a három pont egy egyenesre esik, a terület nulla, ezért ezt elfajult esetnek nevezzük és nem tekintjük háromszögnek.
Elég-e három szög a háromszög megszerkesztéséhez?
Nem. A három szögből (60°, 70°, 50°) végtelen sok, egymáshoz hasonló háromszög szerkeszthető. A mérethez legalább egy oldalhossz is kell.
Mi a diszkusszió a szerkesztési feladatban?
A megoldások számának vizsgálata: annak leírása, hogy az adott adatokból hány háromszög szerkeszthető meg, és milyen feltétel mellett. Ez a szerkesztési feladat kötelező záró lépése.