Oldalak kiszámítása
Háromszög oldalai kiszámítása
Ha nincs derékszög, a Pitagorasz-tétel nem segít. Ez az oldal arról szól, hogy általános háromszögben melyik három adatból jön ki a hiányzó oldal – és melyikből nem.
Röviden a válasz
Általános háromszögben a hiányzó oldalt két tétel adja. Ha két oldalt és a közbezárt szöget ismered, a koszinusztétel kell: a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cos α.
Ha egy oldalt és két szöget ismersz, a szinusztétel a gyorsabb: asin α = bsin β. Három adat mindig kell, és legalább az egyiknek oldalnak kell lennie – csupa szögből csak a háromszög alakja derül ki, a mérete nem.
Oldalszámító kalkulátor
Adj meg három adatot, amiből legalább egy oldal – például két oldalt és a közbezárt szöget –, és megkapod a hiányzó oldalakat.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Hány adat kell, és milyen?
Egy háromszöget három független adat határoz meg. A négy használható kombináció:
| Amit ismersz | Rövidítés | Melyik tétel |
|---|---|---|
| Három oldal | SSS | Koszinusztétel – de itt már nincs mit számolni az oldalakon, a szögek jönnek belőle. |
| Két oldal és a közbezárt szög | SAS | Koszinusztétel a harmadik oldalra. |
| Egy oldal és a rajta fekvő két szög | ASA | Szinusztétel, a hiányzó szög 180°-ból. |
| Egy oldal, egy rajta fekvő és egy vele szemközti szög | AAS | Szinusztétel. |
Két oldal és a közbezárt szög: koszinusztétel
A koszinusztétel a Pitagorasz-tétel kiterjesztése tetszőleges háromszögre. A képletben a kivont tag „javítja ki” az eltérést a derékszögtől:
Kidolgozott példa · b = 8 cm, c = 5 cm, a közbezárt szög α = 60°
Mekkora a harmadik oldal?
- Behelyettesítés a koszinusztételbe:a2 = 82 + 52 − 2 · 8 · 5 · cos 60°
- A cos 60° = 0,5 értékkel:a2 = 64 + 25 − 80 · 0,5 = 89 − 40 = 49
- Gyökvonás:a = √49 = 7 cm
EredményA harmadik oldal a = 7 cm.
Egy oldal és két szög: szinusztétel
A szinusztétel azt mondja ki, hogy minden oldal és a vele szemközti szög szinuszának hányadosa ugyanannyi. Így ha egy oldal-szög párost teljesen ismersz, minden további oldal kiszámolható:
Kidolgozott példa · a = 10 cm, α = 30°, β = 45°
Mekkora a másik két oldal?
- A harmadik szög a szögösszegből:γ = 180° − 30° − 45° = 105°
- A b oldal a szinusztételből:b = 10 · sin 45°sin 30° = 10 · 0,70710,5 = 14,14 cm
- A c oldal ugyanígy:c = 10 · sin 105°sin 30° = 10 · 0,96590,5 = 19,32 cm
Eredményb = 14,14 cm és c = 19,32 cm.
Ellenőrzés: kijön-e egyáltalán a háromszög?
Mielőtt elfogadnád az eredményt, nézd meg a háromszög-egyenlőtlenséget: bármely két oldal összege nagyobb kell legyen a harmadiknál.
A 7 – 8 – 5 cm-es háromszögnél a leghosszabb oldal 8 cm, és 7 + 5 = 12 > 8, tehát rendben van. Ha az adataidból a + b ≤ c jönne ki, a feladatnak nincs megoldása – ilyet a háromszög egyenlőtlenség oldalon részletesen is megnézünk.
Derékszögű háromszögben mindkét tétel helyett elég a Pitagorasz-tétel és a szögfüggvények: erről a derékszögű háromszög oldalainak kiszámítása oldalon írunk.
Gyors önellenőrzés
Két oldal 6 és 10 cm, a közbezárt szög 90°. Mekkora a harmadik oldal?
Egy háromszögben α = 40°, β = 60°, és az α-val szemközti oldal 12 cm. Mekkora a β-val szemközti oldal?
Lehet-e egy háromszög oldala 4, 5 és 11 cm?
Gyakori kérdések
Hogyan számolom ki egy háromszög hiányzó oldalát?
Ha két oldal és a közbezárt szög adott, koszinusztétellel: a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cos α. Ha egy oldal és két szög, akkor szinusztétellel: b = a · sin βsin α.
Elég-e két adat a háromszög oldalainak kiszámításához?
Általános háromszögben nem, három kell, és legalább egynek oldalnak kell lennie. Derékszögű vagy egyenlő szárú háromszögnél viszont már kettő is elég, mert a derékszög, illetve a szárak egyenlősége pótolja a harmadikat.
Mikor használjak szinusztételt és mikor koszinusztételt?
Ha van teljes oldal-szög párod (egy oldal és a vele szemközti szög), szinusztétel. Ha két oldal és a köztük lévő szög adott, vagy mind a három oldal ismert, koszinusztétel.
Miért nem működik a Pitagorasz-tétel minden háromszögre?
Mert a derékszögre épül. Általános háromszögben a koszinusztétel az érvényes alak, amelyben a -2 · b · c · cos α tag korrigál. Ha α = 90°, ez a tag nulla, és visszakapod a Pitagorasz-tételt.
Milyen három oldalhosszból lesz egyáltalán háromszög?
Csak akkor, ha a két rövidebb oldal összege nagyobb a leghosszabbnál. Például 4, 5 és 11 cm-ből nem szerkeszthető háromszög, mert 4 + 5 < 11.