Tételek
Háromszög-egyenlőtlenség
Egyetlen gyors ellenőrzés eldönti, hogy három adott hosszúságú szakaszból lehet-e háromszöget rakni – és megmondja azt is, mekkora lehet a hiányzó oldal.
Röviden a válasz
A háromszög-egyenlőtlenség azt mondja ki, hogy egy háromszögben bármely két oldal összege nagyobb a harmadik oldalnál: a + b > c, a + c > b és b + c > a.
Ha három megadott hosszúságból akarsz háromszöget rakni, elég egyetlen dolgot megnézni: a két rövidebb összege nagyobb-e a leghosszabbnál. Ha igen, a háromszög megszerkeszthető, ha nem vagy épp egyenlő, akkor nem.
A tétel és az egyetlen ellenőrzendő feltétel
Három egyenlőtlenséget szokás felírni, de ezek közül kettő automatikusan teljesül. Ha c a leghosszabb oldal, akkor a + c > b és b + c > a magától igaz, hiszen a bal oldalon ott van a leghosszabb oldal is. Egyedül a leghosszabbra vonatkozó feltétel jelenthet gondot.
Miért igaz? Mert két pont között a legrövidebb út az egyenes szakasz. Ha az A csúcsból a B-be a C csúcson keresztül mész, az kerülő út: b + a hosszú. Ez semmiképp nem lehet rövidebb a közvetlen c szakasznál, és mivel C nincs rajta az AB szakaszon, szigorúan hosszabb.
Megszerkeszthető-e a háromszög? – ellenőrzés lépésről lépésre
A gyors teszt
- Rendezd a három hosszúságot nagyság szerint.
- Add össze a két rövidebbet.
- Hasonlítsd az összeget a leghosszabbhoz: ha szigorúan nagyobb, a háromszög létezik.
Kidolgozott példa · 5 cm, 7 cm és 13 cm
Megszerkeszthető-e ezekből a szakaszokból háromszög?
- A leghosszabb oldal 13 cm, a két rövidebb 5 és 7 cm. Add össze őket:5 + 7 = 12 cm
- Hasonlítsd a leghosszabbhoz:12 < 13
- A két rövidebb oldal összege kisebb a leghosszabbnál, tehát a feltétel sérül.a + b > c → nem teljesül
EredményNem szerkeszthető meg: az 5 és 7 cm-es szakasz „nem ér össze" a 13 cm-es felett.
Mekkora lehet a harmadik oldal?
Ha két oldal ismert, a harmadikra nem egy szám, hanem egy intervallum adódik. Az alsó határt a két ismert oldal különbsége, a felsőt az összegük adja:
Kidolgozott példa · Két oldal: 6 cm és 10 cm
Milyen hosszú lehet a harmadik oldal, és hány egész centiméteres érték jó?
- Alsó határ a különbség:|6 − 10| = 4 cm
- Felső határ az összeg:6 + 10 = 16 cm
- A harmadik oldal tehát a nyílt intervallumban van:4 < c < 16
- Egész értékek 5-től 15-ig, vagyis:15 − 5 + 1 = 11 darab
EredményA harmadik oldal 4 cm-nél hosszabb és 16 cm-nél rövidebb; 11 egész centiméteres érték lehetséges.
Tipikus feladattípusok
| A feladat | Amit ellenőrzöl |
|---|---|
| Megszerkeszthető-e a háromszög? | A két rövidebb oldal összege nagyobb-e a leghosszabbnál. |
| Mekkora lehet a harmadik oldal? | Az |a − b| < c < a + b intervallum. |
| Hány egész megoldás van? | Az intervallumba eső egész számok darabszáma, a végpontok nélkül. |
| Adott kerület, két oldal ismert | Kivonással megvan a harmadik, utána ellenőrzöd az egyenlőtlenséget. |
| Ismeretlenes oldalak (x, x+3 …) | Mindhárom egyenlőtlenséget felírod, és metszed a megoldáshalmazokat. |
Kidolgozott példa · A háromszög kerülete 20 cm, két oldala 6 és 9 cm
Létezik-e ilyen háromszög?
- A harmadik oldal a kerületből:c = 20 − 6 − 9 = 5 cm
- A leghosszabb oldal a 9 cm, a két rövidebb 5 és 6 cm:5 + 6 = 11 > 9
- A feltétel teljesül, sőt bőven.11 > 9 → létezik
EredményIgen, a háromszög oldalai 5, 6 és 9 cm.
A tétel „megfordítása" is használható: minden olyan számhármasból, amelyre teljesül az egyenlőtlenség, pontosan egy háromszög szerkeszthető (az egybevágóság erejéig). Ezért elég három oldal ahhoz, hogy a háromszög minden szöge és területe egyértelmű legyen – lásd a háromszög oldalai oldalt.
Gyors önellenőrzés
Lehet-e háromszög oldala 3, 4 és 7 cm?
Egy egyenlő szárú háromszög szára 5 cm. Mekkora lehet az alap?
Két oldal 8 és 8 cm. Hány egész centiméteres érték jöhet szóba a harmadik oldalra?
Miért elég csak a leghosszabb oldalra ellenőrizni a feltételt?
Gyakori kérdések
Mit mond ki a háromszög-egyenlőtlenség tétele?
Azt, hogy egy háromszögben bármely két oldal összege nagyobb a harmadik oldalnál: a + b > c, a + c > b és b + c > a. Gyakorlatban elég a leghosszabb oldalra ellenőrizni.
Hogyan döntöm el, hogy három hosszúságból lehet-e háromszöget szerkeszteni?
Add össze a két rövidebbet, és hasonlítsd a leghosszabbhoz. Ha az összeg szigorúan nagyobb, a háromszög megszerkeszthető; ha egyenlő vagy kisebb, nem.
Mekkora lehet a harmadik oldal, ha kettőt ismerek?
A két ismert oldal különbsége és összege közé kell esnie: |a − b| < c < a + b. A két határérték maga nem jó, mert ott a háromszög elfajulna.
Mi az elfajuló háromszög?
Az, amelyiknél a + b = c pontosan teljesül. Ilyenkor a három csúcs egy egyenesre esik, a terület nulla, és az alakzatot nem tekintjük háromszögnek.
Miért igaz a háromszög-egyenlőtlenség?
Mert két pont között a legrövidebb út az őket összekötő szakasz. A harmadik csúcson át vezető útvonal kerülő, ezért szigorúan hosszabb a közvetlen oldalnál.
Van kapcsolat az oldalak és a szögek sorrendje között?
Igen: a leghosszabb oldallal szemben van a legnagyobb szög, a legrövidebbel szemben a legkisebb. Ez jó ellenőrzés, ha a háromszög oldalainak arányát vizsgálod.