Oldalak kiszámítása
A háromszög oldalai
Nem számolós oldal: itt az oldalak jelölését, a rájuk vonatkozó szabályokat és azt nézzük meg, mit lehet kiolvasni három számból a háromszög alakjáról.
Röviden a válasz
A háromszögnek három oldala van, jelölésük a, b és c. A szabály egyszerű: minden oldalt a vele szemközti csúcs kisbetűjével jelölünk, tehát a = BC, b = CA, c = AB.
Bármely három szám nem lehet háromszög oldala: teljesülnie kell a háromszög-egyenlőtlenségnek, vagyis bármely két oldal összegének nagyobbnak kell lennie a harmadiknál. Az oldalak sorrendje pedig megmutatja a szögek sorrendjét is: a leghosszabb oldallal szemben van a legnagyobb szög.
Az oldalak jelölése: melyik betű hova tartozik?
A csúcsokat nagybetűvel (A, B, C), az oldalakat kisbetűvel jelöljük. A párosítás nem véletlenszerű: az a oldal az A csúccsal szemben van, vagyis a B és C csúcsot köti össze. Ugyanígy b = CA és c = AB.
Ez a rend teszi rövidre a képleteket. Amikor a szinusztételben azt írjuk, hogy asin α = bsin β, akkor épp azt használjuk ki, hogy α az a oldallal szemközti szög. Ha a betűzést elrontod, minden ráépülő számolás elcsúszik.
A háromszög oldalainak szabálya: a háromszög-egyenlőtlenség
Három tetszőleges szakaszból nem mindig lehet háromszöget összerakni. A feltétel a háromszög-egyenlőtlenség: bármely két oldal összege nagyobb a harmadiknál. Elég a leghosszabb oldalra ellenőrizni, mert ha arra teljesül, a másik kettőre automatikusan igaz.
Kidolgozott példa · Lehet-e háromszög a 3 cm, 4 cm, 8 cm és az 5 cm, 6 cm, 10 cm?
Döntsük el mindkét számhármasról, hogy megszerkeszthető-e belőle háromszög!
- Az első hármasnál a két rövidebb oldal összege:3 + 4 = 7 < 8
- Ez kisebb a leghosszabbnál, tehát a két rövid szakasz nem ér össze – nincs ilyen háromszög.3 + 4 > 8 hamis
- A második hármasnál:5 + 6 = 11 > 10
- Itt teljesül a feltétel, a háromszög megszerkeszthető.5 + 6 > 10 igaz
EredményA 3–4–8 nem háromszög, az 5–6–10 igen.
Az oldalak sorrendje elárulja a szögeket
A háromszög egyik legtöbbet használt tulajdonsága: nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van, és fordítva. Ha tehát a > b > c, akkor biztosan α > β > γ is igaz. Ehhez semmit nem kell kiszámolni.
- A leghosszabb oldallal szemközti szög a legnagyobb – ez az egyetlen szög, amelyik derékszög vagy tompaszög lehet.
- Két egyenlő oldalhoz két egyenlő szög tartozik: ez az egyenlő szárú háromszög alaptulajdonsága.
- Ha mindhárom oldal egyenlő, mindhárom szög 60°.
A pontos szögértékekhez már számolni kell (koszinusztétellel), erről a háromszög szögeinek kiszámítása oldalon olvashatsz. A sorrend viszont ránézésre eldönthető.
Mit árul el három szám a háromszög fajtájáról?
A leghosszabb oldal négyzetét kell összehasonlítani a másik kettő négyzetösszegével. Ez a Pitagorasz-tétel „kiterjesztett" változata, és három esetet ad:
| Feltétel | A háromszög | Példa |
|---|---|---|
| c2 < a2 + b2 | hegyesszögű | 6, 7, 8 → 64 < 36 + 49 |
| c2 = a2 + b2 | derékszögű | 10, 24, 26 → 676 = 100 + 576 |
| c2 > a2 + b2 | tompaszögű | 4, 6, 8 → 64 > 16 + 36 |
A tompaszögű esetnél érdemes megállni: a 4, 6, 8 oldalú háromszög létezik (hiszen 4 + 6 > 8), de a legnagyobb szöge tompaszög. Tompaszögű háromszögnek egyetlen tompaszöge lehet, mert két tompaszög összege már önmagában meghaladná a 180°-ot.
Speciális háromszögek oldalai
| Háromszög | Az oldalakról | Elnevezés |
|---|---|---|
| Szabályos | mindhárom oldal egyenlő | oldal |
| Egyenlő szárú | két oldal egyenlő | két szár és egy alap |
| Derékszögű | a leghosszabbra c2 = a2 + b2 | két befogó és egy átfogó |
| Általános | mindhárom oldal különböző | oldalak, a, b, c |
Az elnevezések nem cserélhetők fel: szár csak egyenlő szárú háromszögben van, befogó és átfogó pedig csak derékszögűben. Az egyenlő szárú derékszögű háromszögben mindkét szóhasználat él, ott a két szár egyben a két befogó is.
Gyors önellenőrzés
Lehet-e egy háromszög oldala 2 cm, 3 cm és 6 cm?
Egy háromszög oldalai 7 cm, 7 cm és 11 cm. Melyik a legnagyobb szöge?
Milyen háromszöget alkot a 9, 40 és 41 cm-es oldalhármas?
Gyakori kérdések
Hogyan jelöljük a háromszög oldalait?
Kisbetűvel, a szemközti csúcs betűje szerint: az A csúccsal szemközti oldal az a, a B-vel szemközti a b, a C-vel szemközti a c. Ezért a = BC, b = CA és c = AB.
Mi a háromszög oldalaira vonatkozó szabály?
A háromszög-egyenlőtlenség: bármely két oldal összege nagyobb a harmadik oldalnál. Ha ez nem teljesül, a három szakaszból nem lehet háromszöget szerkeszteni.
A derékszögű háromszög oldalait hogyan hívjuk?
A derékszöget közrefogó két oldal a befogó, a derékszöggel szemközti, egyben leghosszabb oldal az átfogó. Közöttük a Pitagorasz-tétel teremt kapcsolatot.
A tompaszögű háromszög oldalairól mit lehet tudni?
A leghosszabb oldal négyzete nagyobb a másik két oldal négyzetösszegénél, és ezzel az oldallal szemben áll az egyetlen tompaszög. Például a 4, 6, 8 oldalú háromszög tompaszögű, mert 64 > 16 + 36.
Melyik oldallal szemben van a legnagyobb szög?
A leghosszabb oldallal szemben. Az oldalak és a szemközti szögek sorrendje mindig megegyezik, tehát ha a > b, akkor α > β is igaz.