Oldalak kiszámítása
Háromszög oldalainak aránya
Az arány és a kerület együtt már egyértelműen meghatározza az oldalakat. Az arányból a szögek is kiszámolhatók – de vigyázz, az oldalak aránya nem egyenlő a szögek arányával.
Röviden a válasz
Ha egy háromszög oldalainak aránya a : b : c = 3 : 4 : 5, az azt jelenti, hogy van egy közös k szorzó, amellyel a = 3k, b = 4k, c = 5k. A k értékét egy további adatból – többnyire a kerületből – kapod meg: K = 3k + 4k + 5k = 12k, tehát k = K12.
Az arány a háromszög alakját rögzíti, a méretét nem: minden azonos arányú háromszög hasonló egymáshoz, és a szögeik is megegyeznek. Ezért az arányból a szögek mindig kiszámolhatók, a tényleges oldalhosszak viszont csak akkor, ha kapsz még egy méretadatot.
Arányból szögek – háromszögkalkulátor
Írd be egyszerűen az arányszámokat oldalként (például 2, 3 és 4) – a szögek ugyanazok lesznek, mint a valódi méretű háromszögben.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mit jelent az oldalak aránya?
Az a : b : c arány azt mondja meg, hogy az oldalak hányszorosai egymásnak. A 2 : 3 : 4 arány például annyit jelent, hogy ha a legrövidebb oldal 2 egység, a másik kettő 3 és 4 egység – akár centiméterben, akár méterben, akár tetszőleges k szorzóval.
Oldalak számítása arányból és kerületből
Ez a leggyakoribb feladattípus. A recept három lépés: add össze az arányszámokat, oszd el velük a kerületet, majd szorozd vissza az arányszámokat a kapott k értékkel.
Kidolgozott példa · Arány 3 : 4 : 5, kerület 72 cm
Mekkorák az oldalak, és milyen háromszög ez?
- Az arányszámok összege adja a kerületet k-ban kifejezve:K = 3k + 4k + 5k = 12k
- Innen a közös szorzó:k = 7212 = 6 cm
- Az oldalak:a = 3 · 6 = 18, b = 4 · 6 = 24, c = 5 · 6 = 30 cm
- Ellenőrzés Pitagorasz-tétellel:182 + 242 = 324 + 576 = 900 = 302
EredményAz oldalak 18, 24 és 30 cm, a háromszög derékszögű, területe T = 18 · 242 = 216 cm².
Kidolgozott példa · Arány 2 : 3 : 4, kerület 54 cm
Mekkorák az oldalak?
- Az arányszámok összege 9, tehát:K = 9k → k = 549 = 6 cm
- Az oldalak sorra:a = 12, b = 18, c = 24 cm
- A leghosszabb oldallal szemközti szög koszinusztétellel:cos γ = 122 + 182 − 2422 · 12 · 18 = -108432 = -0,25
EredményAz oldalak 12, 18 és 24 cm. A legnagyobb szög γ = 104,48°, tehát ez tompaszögű háromszög.
Nem minden arányból lesz háromszög
A háromszög-egyenlőtlenség az arányszámokra ugyanúgy érvényes, mint a valódi oldalakra: bármelyik két oldal összegének nagyobbnak kell lennie a harmadiknál. Elég a két kisebb arányszámot összeadni, és a legnagyobbal összehasonlítani.
| Arány | Milyen háromszög? | Legnagyobb szög |
|---|---|---|
| 1 : 1 : 1 | Szabályos | 60° |
| 1 : 2 : 2 | Egyenlő szárú, hegyesszögű | 75,52° |
| 3 : 4 : 5 | Derékszögű | 90° |
| 2 : 3 : 4 | Tompaszögű | 104,48° |
| 1 : 2 : 4 | Nem létezik | – |
Az oldalak aránya és a szögek aránya nem ugyanaz
Ez a legszívósabb tévhit a témában. A 3 : 4 : 5 oldalarányú háromszög szögei nem 3 : 4 : 5 arányúak, hanem 36,87°, 53,13° és 90° – ezek aránya nagyjából 1 : 1,44 : 2,44. A kapcsolatot nem az oldalak, hanem a szinuszaik teremtik meg:
Kidolgozott példa · Szögek: 40°, 60°, 80°
Milyen arányban állnak az oldalak?
- A szinusztétel szerint az oldalak aránya a szinuszok aránya:a : b : c = sin 40° : sin 60° : sin 80°
- Behelyettesítve:a : b : c = 0,6428 : 0,8660 : 0,9848
- Osszuk el mindent a legkisebbel:a : b : c = 1 : 1,347 : 1,532
EredményAz oldalak aránya körülbelül 1 : 1,35 : 1,53 – jóval kiegyenlítettebb, mint a szögek 40 : 60 : 80, azaz 2 : 3 : 4 aránya.
Egy dolog azért igaz marad: a sorrend ugyanaz. A legnagyobb szöggel szemközt áll a leghosszabb oldal, a legkisebbel szemközt a legrövidebb. Ha szögekből akarsz konkrét oldalhosszakat, a háromszög oldalainak kiszámítása szögekből oldal viszi végig a számolást.
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög oldalainak aránya 4 : 5 : 6, kerülete 45 cm. Mekkorák az oldalak?
Létezik-e 2 : 3 : 6 arányú háromszög?
Egy egyenlő szárú háromszög oldalainak aránya 5 : 5 : 8, kerülete 54 cm. Mekkora az alap?
Gyakori kérdések
Mit jelent, hogy egy háromszög oldalainak aránya 3 : 4 : 5?
Azt, hogy az oldalak 3k, 4k és 5k hosszúak valamilyen k szorzóval. Mivel 32 + 42 = 52, minden ilyen háromszög derékszögű – például a 18, 24, 30 cm oldalú is.
Hogyan számolom ki az oldalakat, ha az arányt és a kerületet tudom?
Add össze az arányszámokat, oszd el velük a kerületet – ez a közös k szorzó –, majd szorozd meg vele külön-külön az arányszámokat. Például 3 : 4 : 5 arány és 72 cm kerület esetén k = 6, az oldalak 18, 24 és 30 cm.
Az oldalak aránya megegyezik a szögek arányával?
Nem. A 3 : 4 : 5 oldalarányhoz 36,87°, 53,13° és 90° tartozik, ami nem 3 : 4 : 5 arány. A kapcsolat a szinusztétel: a : b : c = sin α : sin β : sin γ.
Milyen arányból nem lesz háromszög?
Abból, amelyikben a két kisebb arányszám összege nem nagyobb a legnagyobbnál. Az 1 : 2 : 4 és az 1 : 2 : 3 egyaránt rossz, mert a két rövidebb oldal nem tud háromszöggé záródni.
Két háromszög oldalai azonos arányúak – mit lehet ebből tudni?
Azt, hogy a két háromszög hasonló: a szögeik páronként egyenlők, a területeik aránya pedig az oldalarány négyzete. Ha az oldalak kétszeresek, a terület négyszeres.