Oldalak kiszámítása
Háromszög oldalainak hossza
Nem minden három szám lehet háromszög oldala. Ez az oldal arról szól, milyen korlátok kötik az oldalhosszakat, és hogyan olvasod ki belőlük a háromszög típusát.
Röviden a válasz
A három oldalhossz nem lehet akármi: bármelyik kettő összegének nagyobbnak kell lennie a harmadiknál. Ez a háromszög-egyenlőtlenség – ha nem teljesül, a három szakaszból nem lehet háromszöget összerakni.
Az oldalhosszak sorrendje elárulja a szögek sorrendjét is: a leghosszabb oldallal szemben van a legnagyobb szög. Sőt, a három hosszból a háromszög típusa is kiderül, anélkül hogy egyetlen szöget kiszámolnál.
Háromszög oldalhossz-ellenőrző
Írd be a három oldalt – ha szerkeszthető háromszög, megkapod a szögeit, a kerületét és a területét is.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Milyen hosszak alkotnak háromszöget?
A háromszög-egyenlőtlenség szerint mindhárom oldalpárra teljesülnie kell, hogy az összegük nagyobb a harmadik oldalnál. A gyakorlatban elég egyetlen ellenőrzés: a két rövidebb oldal összegét hasonlítsd a leghosszabbhoz.
| Oldalak | A két rövidebb összege | Eredmény |
|---|---|---|
| 5, 8, 12 cm | 5 + 8 = 13 > 12 | szerkeszthető |
| 5, 8, 14 cm | 5 + 8 = 13 < 14 | nem szerkeszthető |
| 5, 8, 13 cm | 5 + 8 = 13 | elfajult: a három pont egy egyenesen van |
| 12, 18, 24 cm | 12 + 18 = 30 > 24 | szerkeszthető |
Mit árul el az oldalak hossza?
Ha megvan a három hossz, a Pitagorasz-tétel megfordításával eldöntheted a háromszög típusát is. Hasonlítsd össze a leghosszabb oldal négyzetét a másik kettő négyzetösszegével:
- c2 = a2 + b2 → derékszögű háromszög,
- c2 < a2 + b2 → hegyesszögű,
- c2 > a2 + b2 → tompaszögű.
A 12, 18, 24 cm-es háromszögnél például 242 = 576, míg 122 + 182 = 144 + 324 = 468. Mivel 576 > 468, a háromszög tompaszögű – a 24 cm-es oldallal szemközti szög nagyobb 90°-nál.
Oldalhossz kiszámítása koordinátákból
Ha a csúcsok koordinátái ismertek, minden oldal hossza két pont távolsága. A távolságképlet maga is a Pitagorasz-tétel, csak koordinátákra írva.
Kidolgozott példa · A(2; 1), B(8; 9), C(2; 9)
Mekkorák a háromszög oldalai?
- A c = AB oldal a távolságképlettel:c = √(8-2)2 + (9-1)2 = √36 + 64 = √100 = 10
- A b = CA oldal függőleges, így elég a y értékek különbsége:b = 9 − 1 = 8
- Az a = BC oldal vízszintes:a = 8 − 2 = 6
- Típusellenőrzés a Pitagorasz-tétel megfordításával:62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102
Eredménya = 6, b = 8, c = 10 egység – derékszögű háromszög
Oldalhossz arányból és kerületből
Sok feladat nem konkrét hosszakat ad, hanem arányt és kerületet. Ilyenkor egyetlen ismeretlen egységgel dolgozz: az arányszámok összege annyi egységet jelent, amennyi a kerületben elfér.
Kidolgozott példa · Az oldalak aránya 2 : 3 : 4, a kerület 54 cm
Mekkorák az oldalak?
- Az arányszámok összege:2 + 3 + 4 = 9 egység
- Egy egység hossza:549 = 6 cm
- Az oldalak:a = 2 · 6 = 12 cm, b = 3 · 6 = 18 cm, c = 4 · 6 = 24 cm
- Ellenőrzés az összeggel:12 + 18 + 24 = 54 cm
Eredmény12 cm, 18 cm és 24 cm
Ha nem arányt kaptál, hanem szögeket vagy más oldalakat, a hiányzó hosszakat a szinusz- és koszinusztétellel számold ki – ezekhez a háromszög oldalainak kiszámítása képlet oldal ad teljes áttekintést. Derékszögű esetben pedig a derékszögű háromszög oldalainak kiszámítása a kiindulópont.
Gyors önellenőrzés
Lehet-e háromszög oldala 3 cm, 4 cm és 9 cm?
Egy háromszög oldalai 9 cm, 12 cm és 16 cm. Milyen típusú?
Két oldal 7 cm és 10 cm. Milyen határok közé eshet a harmadik oldal?
Gyakori kérdések
Milyen hosszúak lehetnek a háromszög oldalai?
Bármilyen pozitív számok lehetnek, amíg teljesül a háromszög-egyenlőtlenség: bármely két oldal összege nagyobb a harmadiknál. Elég a két rövidebbet összeadni és a leghosszabbal összehasonlítani.
Hogyan számolom ki a háromszög oldalainak hosszát?
Koordinátákból a távolságképlettel, arányból és kerületből osztással, szögekkel megadott háromszögben szinusztétellel, két oldal és a közbezárt szög esetén koszinusztétellel. Derékszögűben a Pitagorasz-tétel a leggyorsabb.
Hogyan derül ki az oldalak hosszából, hogy derékszögű-e a háromszög?
A Pitagorasz-tétel megfordításával. Ha a leghosszabb oldal négyzete pontosan a másik kettő négyzetösszegével egyenlő, a háromszög derékszögű. Ha kisebb, hegyesszögű, ha nagyobb, tompaszögű.
Melyik a háromszög leghosszabb oldala?
Az, amelyik a legnagyobb szöggel szemben van. Derékszögű háromszögben ez mindig az átfogó, hiszen ott a derékszög a legnagyobb szög.
Mekkora lehet a harmadik oldal, ha kettőt ismerek?
A két ismert oldal különbsége és összege közé kell esnie. Ha az oldalak b és c, akkor |b − c| < a < b + c – a határértékek maguk nem érvényesek.