Szabályos háromszög szerkesztése körzővel

Q: Mekkora a szabályos háromszög magassága, ha az oldala 6 cm?

m = (6 · √(3))/(2) = 5,196, vagyis kerekítve 5,2 cm. Általánosan a magasság az oldal 0,866-szorosa.

Szabályos háromszög adatai

Írd be az oldalt (vagy a magasságot, kerületet, területet) – a többi adat magától kijön.

azonnal számol

Egyetlen adatból az összes többi következik – minden szöge 60°.

Példa:

a oldal: –
m_a magasság: –
Terület: –
Kerület: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

A szerkesztés menete adott oldalból

a = 6 cm oldalú szabályos háromszög

Mérd fel az oldaltHúzz egy egyenest, jelöld ki rajta az A pontot, és körzővel mérj fel 6 cm-t: ez a B pont.
Ne változtass a körzőnyílásonA körző pontosan 6 cm-re van nyitva. Ez a szerkesztés lelke – innentől semmit nem kell mérni.
Rajzolj ívet A körülSzúrd a körzőt A-ba, és rajzolj egy ívet az egyenes fölé.
Rajzolj ívet B körülSzúrd a körzőt B-be, és rajzolj ugyanakkora sugárral egy másik ívet. A két ív metszéspontja a C csúcs.
Kösd össze a csúcsokatHúzd meg az AC és BC szakaszt. Mindkettő 6 cm, mert mindkettő az azonos sugarú körívekről származik.

A szabályos háromszög mindhárom szöge 60°, mindhárom oldala egyenlő.

Kidolgozott példa · a = 6 cm – mit mérj le a kész rajzon?

Számold ki a magasságot, a kerületet és a területet, hogy ellenőrizhesd a szerkesztést!

A magasság felezi az alapot, így Pitagorasz-tétellel:m = √6² − 3² = √36 − 9 = √27
Ez a jól ismert alakban:m = 6 · √32 = 5,196 cm
A kerület:K = 3 · 6 = 18 cm
A terület:T = 6 · 5,1962 = 15,59 cm²

EredményA magasság kb. 5,2 cm – ennyit kell mérned a csúcstól az alapig.

Ugyanez a szerkesztés adja a 60°-os szöget

Ha csak egy 60°-os szögre van szükséged, ne keresd a szögmérőt: mérj fel egy tetszőleges szakaszt, és csináld végig ugyanezt a két körívet. A kapott háromszög szabályos, tehát a szöge pontosan 60° – ez a szerkesztés a szögmérőnél is pontosabb.

30°: felezd a megszerkesztett 60°-os szöget szögfelezővel.
120°: mérj fel két 60°-os szöget egymás mellé.
Szabályos hatszög: a kör sugarát hatszor mérd fel magára a körre – minden szomszédos pont és a középpont egy szabályos háromszöget alkot.

Szerkesztés adott magasságból

Ha nem az oldal, hanem a magasság adott, ne kezdd az oldal felmérésével. Rajzolj egy egyenest, állíts rá merőlegest, és mérd fel rá a magasságot – így megvan a csúcs és az alap egyenese. Ezután az alap egyenesével 60°-os szöget bezáró két szárat kell a csúcsból indítanod, és ezek metszik ki az alapot.

Kidolgozott példa · Adott magasság: m = 9 cm

Mekkora oldalt fogsz mérni a kész rajzon?

A magasság és az oldal kapcsolata:m = a · √32
Átrendezve az oldalra:a = 2 · m√3 = 2 · 91,732
Vagyis:a = 10,39 cm

Eredménya = 10,39 cm, a kerület 31,18 cm.

Szabályos háromszög adott körbe

Adott körbe így írsz szabályos háromszöget: mérd fel a kör sugarát a körvonalra egymás után hatszor – a hat osztópontból minden másodikat kösd össze. A kapott háromszög szabályos, és a köré írt köre épp az adott kör. Ez azért működik, mert a sugárral felmért húrok a kör középpontjából 60°-ot fognak be.

Gyors önellenőrzés

Miért nem kell szögmérő a szabályos háromszög szerkesztéséhez?

Mert csak három egyenlő oldalra van szükség, azt pedig a változatlan körzőnyílás biztosítja. A 60°-os szögek ebből következnek, nem külön kell felmérni őket.

Egy szabályos háromszög kerülete 24 cm. Mekkora az oldala és a magassága?

Az oldal 24 : 3 = 8 cm, a magasság 8 · √32 = 6,93 cm.

Hány megoldása van a szerkesztésnek, ha az oldal adott?

Egy. A két körív az egyenes két oldalán is metszi egymást, de az így kapott két háromszög egymás tükörképe, tehát egybevágó.

Gyakori kérdések

Hogyan szerkesztünk szabályos háromszöget körzővel?

Mérd fel az oldalt egy egyenesre, majd azonos – az oldallal egyenlő – körzőnyílással rajzolj egy ívet mindkét végpont körül. Az ívek metszéspontja a harmadik csúcs.

Hogyan szerkesztek 60 fokos szöget?

Ugyanazzal a két körívvel: mérj fel egy tetszőleges szakaszt, rajzolj a végpontjai köré azonos sugarú íveket, és kösd össze a metszéspontot az egyik végponttal. A kapott szög pontosan 60°.

Mekkora a szabályos háromszög magassága, ha az oldala 6 cm?

m = 6 · √32 = 5,196, vagyis kerekítve 5,2 cm. Általánosan a magasság az oldal 0,866-szorosa.

Hogyan szerkesztek szabályos háromszöget adott körbe?

Mérd fel a kör sugarát a körvonalra hatszor egymás után, majd a hat osztópontból minden másodikat kösd össze. A kapott háromszög szabályos.

Mi a különbség a szabályos és az egyenlő szárú háromszög szerkesztése között?

A szabályos háromszögnél végig ugyanaz a körzőnyílás, mert mindhárom oldal egyenlő. Egyenlő szárúnál előbb az alapot méred fel, majd a körzőt átállítod a szár hosszára, és úgy rajzolod a két ívet.