Szögszámítás
Háromszög szögszámítás
A szögszámításnak nincs egyetlen képlete – az dönt, hogy mit tudsz a háromszögről. Ez az oldal végigveszi mind a négy esetet, és megmutatja, melyiket mikor válaszd.
Röviden a válasz
A háromszög szögszámítása mindig abból indul, hogy a három belső szög összege 180°. Ha két szöget ismersz, a harmadik egy kivonás: γ = 180° − α − β.
Ha csak oldalakat ismersz, szögfüggvény kell. Derékszögű háromszögben tg α = ab (szemközti befogó osztva a másikkal), általános háromszögben pedig a koszinusztétel adja meg a szöget három oldalból.
Szögszámító kalkulátor
Adj meg három adatot – köztük legalább egy oldalt –, és mindhárom szöget megkapod fokban.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Melyik módszer kell? – döntsd el 10 másodperc alatt
A szögszámítás azért tűnik nehéznek, mert több eszköz létezik rá, és a feladatok nem mondják meg, melyiket kérik. Pedig a döntés egyszerű: azt nézd, milyen adatot kaptál, nem azt, milyen háromszöget.
| Ismert adatok | Eszköz | Alak |
|---|---|---|
| Két szög | Belsőszög-összeg | γ = 180° − α − β |
| Derékszögű, egy hegyesszög | A hegyesszögek pótszögek | β = 90° − α |
| Derékszögű, két oldal | Szögfüggvény és inverze | tg α = ab, sin α = ac |
| Három oldal (bármilyen háromszög) | Koszinusztétel | cos γ = a2 + b2 − c22 · a · b |
| Két oldal és az egyikkel szemközti szög | Szinusztétel | asin α = bsin β |
| Egyenlő szárú, egy szög | Alapon fekvő szögek egyenlők | α = 180° − 2β |
Szögszámítás a 180°-os szabállyal
Ez a 7. osztályos alapeset, és a feladatok jó fele ennyiből áll. A háromszög belső szögeinek összege mindig 180°, függetlenül attól, mekkora vagy milyen alakú a háromszög. A belső szögek összegéről külön oldalon a bizonyítás is megvan.
Kidolgozott példa · α = 63°, β = 48°
Mekkora a harmadik szög?
- A három belső szög összege 180°, ebből:γ = 180° − α − β
- Behelyettesítve:γ = 180° − 63° − 48° = 69°
- Ellenőrzés összeadással:63° + 48° + 69° = 180°
Eredményγ = 69°
A második gyakori típus, amikor a szögek arányát adják meg. Ilyenkor egy ismeretlent vezetsz be, és egyenletet írsz fel.
Kidolgozott példa · A szögek aránya 2 : 3 : 4
Mekkorák a háromszög belső szögei?
- Legyen az arány egy egysége x. Ekkor a szögek 2x, 3x és 4x:2x + 3x + 4x = 180°
- Összevonva:9x = 180° → x = 20°
- Visszahelyettesítve:α = 40°, β = 60°, γ = 80°
EredményA szögek 40°, 60° és 80° – a háromszög hegyesszögű.
Szögszámítás derékszögű háromszögben
Derékszögű háromszögben az egyik szög adott: γ = 90°. Ezért a két hegyesszög összege 90°, vagyis egymás pótszögei: ha az egyiket tudod, a másik egy kivonás. Ha viszont csak oldalakat ismersz, szögfüggvény kell.
A hányadosból a szöget az inverz függvénnyel kapod meg: a számológépen ez a sin-1, cos-1, tg-1 gomb (gyakran shift + sin). A részleteket a derékszögű háromszög szögfüggvényei oldal tárgyalja.
Kidolgozott példa · Átfogó c = 14 cm, egyik befogó a = 7 cm
Mekkorák a hegyesszögek?
- Az a befogó az α szöggel szemközt van, és ismerjük az átfogót – ez a szinusz esete:sin α = ac = 714 = 0,5
- Inverz szinusszal:α = sin-1 0,5 = 30°
- A másik hegyesszög a pótszög:β = 90° − 30° = 60°
Eredményα = 30°, β = 60°, γ = 90°
Szögszámítás három oldalból: a koszinusztétel
Ha a háromszög nem derékszögű, de mindhárom oldalát ismered, a szögfüggvények önmagukban nem elegendők – a koszinusztétel viszont bármelyik szöget megadja.
A képlet előjele magát a választ is ellenőrzi: ha a tört értéke negatív, a szög tompaszög, ha nulla, épp 90°, ha pozitív, hegyesszög. Ez a Pitagorasz-tétel általánosítása – a c2 = a2 + b2 eset pont a cos γ = 0 esethez tartozik.
Szögek és oldalak sorrendje – ingyen ellenőrzés
Minden háromszögben igaz, hogy a nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van, és fordítva. Ez nem külön képlet, hanem ellenőrzőeszköz: ha a c a leghosszabb oldal, de a számolásod szerint γ a legkisebb szög, akkor valahol elcsúszott egy behelyettesítés.
- A szögek összege 180° – ha nem jön ki, kerekítsd újra, vagy keresd a hibát.
- A leghosszabb oldal szemközti szöge a legnagyobb.
- Legfeljebb egy szög lehet derékszög vagy tompaszög – kettő már nem fér bele 180°-ba.
- Minden háromszögben van legalább két hegyesszög.
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög két szöge 75° és 55°. Mekkora a harmadik, és milyen típusú a háromszög?
Derékszögű háromszög egyik hegyesszöge 41°. Mekkora a másik kettő?
Lehet-e egy háromszögnek két 95°-os szöge?
Egy háromszög szögeinek aránya 1 : 1 : 2. Milyen háromszög ez?
Gyakori kérdések
Hogyan számoljam ki a háromszög szögeit?
Nézd meg, mit ismersz. Két szögből a harmadik 180° − α − β. Derékszögűben két oldalból szögfüggvénnyel és annak inverzével. Bármilyen háromszögben három oldalból koszinusztétellel.
Mi a képlet a derékszögű háromszög szögszámításához?
A három alapképlet sin α = ac, cos α = bc és tg α = ab, ahol c az átfogó. Válaszd azt, amelyikben mindkét ismert oldal szerepel, majd használd az inverz függvényt.
Hol találok háromszög szögszámítás feladatokat?
Az oldalon szereplő kidolgozott példák és az önellenőrző kérdések pont a tipikus dolgozatfeladatokat követik: két szögből a harmadik, arányos szögek, oldalakból szögfüggvénnyel számolt hegyesszögek.
Mit tegyek, ha a kiszámolt szögek összege nem pontosan 180°?
Ha az eltérés néhány század fok, az kerekítés – a részeredményeket ne kerekítsd, csak a végén. Ha nagyobb, akkor rossz oldalt párosítottál a szöghöz, vagy a számológép radián módban van.
Mikor kell szinusztétel és mikor koszinusztétel?
Koszinusztétel kell, ha három oldalt ismersz, vagy két oldalt és a közbezárt szöget. Szinusztétel akkor, ha van egy oldal–szög párod (egy oldal és a vele szemközti szög) és mellé még egy adat.