Szögszámítás
Háromszög külső szögei
A külső szögnek két arca van: kiegészítő szög az egyik oldalról, összeg a másikról. A második, a külsőszög-tétel az, amivel a legtöbb feladat pár másodperc alatt megoldható.
Röviden a válasz
A háromszög külső szöge az a szög, amelyet az egyik oldal meghosszabbítása és a csúcsból induló másik oldal zár be. Értéke a belső szög kiegészítése: α’ = 180° − α.
A külsőszög-tétel szerint ugyanez a szög megegyezik a két nem szomszédos belső szög összegével: α’ = β + γ. Ez a két állítás ugyanannak a dolognak a két oldala, és sok feladatban ez a rövidebb út.
Belső szögek kalkulátora
A kalkulátor a belső szögeket adja meg – a külső szögeket ezekből a 180° mínusz belső szög képlettel kapod meg.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mi a háromszög külső szöge?
Hosszabbítsd meg a háromszög egyik oldalát a csúcson túl. Az így keletkező félegyenes és a csúcsból induló másik oldal közötti szög a külső szög. Mivel a belső szöggel együtt egy egyenes mentén fekszik, a kettő összege egyenesszög.
A külsőszög-tétel
Ez a háromszög egyik legpraktikusabb tétele. Egy külső szög nem akármekkora: pontosan annyi, mint a két távolabbi, vele nem szomszédos belső szög összege.
A bizonyítás két sor. Egyfelől α’ = 180° − α, másfelől a belső szögek összegéből β + γ = 180° − α. A jobb oldalak megegyeznek, tehát a bal oldalak is: α’ = β + γ.
Kidolgozott példa · Az A csúcsnál a külső szög 115°, β = 42°
Mekkora a háromszög három belső szöge?
- A külsőszög-tétel szerint a külső szög a két távolabbi belső szög összege:115° = 42° + γ
- Ebből a harmadik szög:γ = 115° − 42° = 73°
- Az A csúcsnál lévő belső szög a külső kiegészítése:α = 180° − 115° = 65°
- Ellenőrzés a szögösszeggel:65° + 42° + 73° = 180°
Eredményα = 65°, β = 42°, γ = 73°.
A három külső szög egy háromszögben
Nézzük végig egy konkrét háromszögön, hogyan alakulnak a külső szögek, ha a belsőket ismerjük.
| Csúcs | Belső szög | Külső szög | A két távolabbi belső szög összege |
|---|---|---|---|
| A | 48° | 132° | 57° + 75° = 132° |
| B | 57° | 123° | 48° + 75° = 123° |
| C | 75° | 105° | 48° + 57° = 105° |
A harmadik és a negyedik oszlop soronként egyezik – ez maga a külsőszög-tétel, most számokban. Ha összeadod a külső szögeket, 132 + 123 + 105 = 360 jön ki; erről részletesen a háromszög külső szögeinek összege oldalon írunk.
Speciális esetek és gyakori hibák
- Derékszögnél a külső szög is 90°: 180° − 90° = 90°. Ez az egyetlen szög, amelyik önmagával egyenlő külső párt kap.
- Tompaszögnél a külső szög hegyesszög, hiszen 180°-nál nagyobb belső szög nem létezik, 90°-nál nagyobból pedig 90°-nál kisebb marad.
- Szabályos háromszögben mindhárom külső szög 120°, mert 180° − 60° = 120°.
A belső szögek kiszámításához nézd meg a háromszög belső szögei oldalt, oldalakból való számoláshoz pedig a háromszög belső szögeinek kiszámítása oldalt.
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög belső szögei 34°, 66° és 80°. Mekkorák a külső szögei?
Egy külső szög 96°, az egyik nem szomszédos belső szög 31°. Mekkora a másik?
Lehet-e egy háromszög külső szöge 45°?
Mekkora egy egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögeihez tartozó külső szög, ha a szárszög 40°?
Gyakori kérdések
Mi a háromszög külső szöge?
Az egyik oldal meghosszabbítása és a csúcsból induló másik oldal által bezárt szög. A belső szöggel együtt 180°-ot ad, ezért α’ = 180° − α.
Mit mond ki a külsőszög-tétel?
Azt, hogy egy külső szög egyenlő a két nem szomszédos belső szög összegével: α’ = β + γ. Ebből az is következik, hogy a külső szög mindegyik távolabbi belső szögnél nagyobb.
Mennyi a háromszög külső szögeinek összege?
360°, minden háromszögben. A három belső szög összege 180°, a három csúcsnál összesen 3 · 180° = 540° van, a különbség pedig éppen 360°.
Hány külső szöge van egy háromszögnek?
Csúcsonként kettő rajzolható, de ezek csúcsszögek, tehát egyenlők. Ezért a gyakorlatban három különböző külső szögről beszélünk, csúcsonként egyről.
Mi a különbség a belső és a külső szög között?
A belső szög a háromszögön belül, két oldal között van; a külső a háromszögön kívül, az oldal meghosszabbítása mellett. A kettő összege minden csúcsnál 180°.