Területszámítás
Háromszög területe
A képlet két számot kér, és minden más adat közömbös. Ennek meglepő következményei vannak – ezekből lesznek a dolgozatok „gondolkodtató" kérdései.
Röviden a válasz
A háromszög területe T = a · ma2: az alap és a rá merőleges magasság szorzatának a fele. A terület tehát csak ettől a két adattól függ – az alaktól, a szögektől, a többi oldal hosszától nem.
Ezért lehet két teljesen különböző kinézetű háromszög területe pontosan egyenlő, és ezért nem következtethetsz a kerületből a területre.
Területkalkulátor
Írd be a három oldalt – a terület és mindhárom magasság megjelenik.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Két adat dönt el mindent
Képzeld el, hogy a háromszög alapja rögzítve van, a felső csúcsot viszont oldalirányban csúsztatod egy vízszintes egyenes mentén. Az oldalak hossza és a szögek folyamatosan változnak, a magasság viszont ugyanaz marad – tehát a terület sem mozdul.
Kidolgozott példa · Alap 16 cm, magasság 9 cm
Mekkora a terület, és mennyivel változik, ha az alapot 24 cm-re növeljük?
- Az eredeti terület:T = 16 · 92 = 72 cm2
- Az alap 24 cm-re nő, a magasság marad:T = 24 · 92 = 108 cm2
- Az arány:10872 = 1,5 = 2416
EredményT = 72 cm², a nagyobb alappal 108 cm² – ugyanabban az arányban nőtt, mint az alap.
Amit a terület nem árul el
Fordítva sem működik: a területből nem tudod megmondani az oldalakat, mert végtelen sok háromszögnek ugyanakkora a területe. A kettő kapcsolatáról bővebben a háromszög kerülete és területe oldalon írunk.
Három hasznos következmény
- A súlyvonal felezi a területet. A súlyvonal a szemközti oldal felezőpontjába megy, így a két rész alapja egyenlő, a magasságuk pedig közös – a 72 cm²-es háromszögből két 36 cm²-es rész lesz.
- A nagyítás négyzetesen hat. Ha minden oldalt kétszeresére nagyítasz, a terület nem kétszeres, hanem négyszeres lesz: 72 cm²-ből 288 cm². Háromszoros nagyításnál kilencszeres.
- A középvonal negyedel. Az oldalfelező pontok által meghatározott kis háromszög minden oldala fele akkora, tehát a területe az eredeti negyede: 18 cm².
Mértékegység
A terület mértékegysége mindig négyzetes: cm², dm², m². Az átváltásnál nem tízzel, hanem százzal szorzol vagy osztasz lépésenként, hiszen 1 dm² = 100 cm² és 1 m² = 10 000 cm². A képletek teljes áttekintése a háromszög területe képletek oldalon van, a lépésenkénti számolás pedig itt: háromszög terület kiszámítása.
Gyors önellenőrzés
Két háromszögnek ugyanakkora az alapja és ugyanakkora a magassága. Egyenlő-e a területük?
Egy háromszög minden oldalát háromszorosára nagyítjuk. Hányszorosa lesz a területe?
A háromszög területe 72 cm². Mekkora területű részekre vágja a súlyvonal?
Lehet-e két háromszögnek egyenlő a kerülete, de eltérő a területe?
Gyakori kérdések
Mi a háromszög területe?
Az a szám, amely megadja, mekkora síkrészt fed le a háromszög. Kiszámítása: T = a · ma2, vagyis egy oldal és a rá merőleges magasság szorzatának a fele.
Mitől függ a háromszög területe?
Kizárólag a választott oldaltól és a hozzá tartozó magasságtól. A többi oldal hossza, a szögek nagysága és a háromszög alakja nem számít – ezért lehet két egészen eltérő háromszög területe egyenlő.
Ha nagyobb a kerület, nagyobb a terület is?
Nem feltétlenül. Két 40 cm kerületű háromszög területe lehet 60 cm² és 34,64 cm² is. A kerület és a terület külön mennyiség, egyikből sem következik a másik.
Hogyan változik a terület, ha a háromszöget nagyítjuk?
A hasonlóság arányának négyzetével. Kétszeres nagyításnál négyszeres, háromszorosnál kilencszeres területet kapsz.
Mi a terület mértékegysége?
Mindig négyzetes egység: cm², dm², m². Ha centiméterben helyettesítesz be, cm²-ben kapod az eredményt.