Területszámítás
A háromszög kerülete és területe
A két mennyiség szinte minden dolgozatban együtt szerepel, mégis teljesen mást mér: az egyik hosszúság, a másik felület. Itt megkapod mindkettőt, minden háromszögtípusra.
Röviden a válasz
A háromszög kerülete a három oldal hossza összeadva: K = a + b + c. A területe egy oldal és a hozzá tartozó magasság szorzatának a fele: T = a · ma2.
A kerület mértékegysége hosszúság (cm, m), a területé négyzetes (cm², m²). Ha csak a három oldalt ismered, a kerület azonnal kijön, a területhez pedig a Héron-képlet vezet.
Kerület- és területkalkulátor
Írd be a három oldalt – a kerületet, a területet és mindhárom magasságot is megkapod.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A két képlet egymás mellett
A kerület és a terület a háromszög két különböző tulajdonságát írja le. A kerület azt mondja meg, milyen hosszú a háromszög körvonala – mennyi kerítés kell köré. A terület azt, mekkora felületet takar – mennyi festék kell rá.
Kidolgozott példa: mindkettő egy háromszögből
Kidolgozott példa · a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm
Számítsd ki a háromszög kerületét és területét!
- A kerület egyszerű összeadás:K = 13 + 14 + 15 = 42 cm
- A félkerület ennek a fele:s = 422 = 21 cm
- Héron-képlet a területre:T = √21 · (21-13) · (21-14) · (21-15)
- Behelyettesítve:T = √21 · 8 · 7 · 6 = √7056
- A gyök pontosan kijön:T = 84 cm2
EredményK = 42 cm, T = 84 cm²
Derékszögű háromszög: itt a legegyszerűbb
Derékszögű háromszögben a két befogó merőleges egymásra, tehát az egyik befogó a másikhoz tartozó magasság. Nem kell Héron, nem kell szögfüggvény: a terület a két befogó szorzatának a fele.
Kidolgozott példa · Befogók: 6 cm és 8 cm
Mekkora a derékszögű háromszög kerülete és területe?
- Az átfogó Pitagorasz-tétellel:c = √62 + 82 = √36 + 64 = √100 = 10 cm
- Kerület:K = 6 + 8 + 10 = 24 cm
- Terület – a két befogó szorzatának a fele:T = 6 · 82 = 24 cm2
EredményK = 24 cm, T = 24 cm²
Kerület és terület a nevezetes háromszögtípusokban
| Háromszög | Kerület | Terület |
|---|---|---|
| Általános (három oldal) | K = a + b + c | T = √s(s-a)(s-b)(s-c) |
| Derékszögű (befogók: a, b) | K = a + b + √a2 + b2 | T = a · b2 |
| Egyenlő szárú (alap: a, szár: b) | K = a + 2b | T = a4 · √4b2 − a2 |
| Szabályos (oldal: a) | K = 3a | T = a2 · √34 |
Az egyenlő szárú esetről részletesen az egyenlő szárú háromszög területe, a szabályosról a szabályos háromszög területe oldalon olvashatsz. Ha csak a kerület érdekel, arra külön anyag van: háromszög kerülete.
Visszafelé: hiányzó adat a kerületből vagy a területből
A feladatok fele nem előre, hanem visszafelé kérdez. Mindkét képlet átrendezhető, és ez az a lépés, amit érdemes fejből tudni:
Kidolgozott példa · K = 32 cm, a = 13 cm, b = 15 cm, T = 24 cm²
Mekkora a harmadik oldal, és mekkora a hozzá tartozó magasság?
- A harmadik oldal a kerületből:c = 32 − 13 − 15 = 4 cm
- A c oldalhoz tartozó magasság a területből:mc = 2 · 244
- Elosztva:mc = 12 cm
Eredményc = 4 cm, mc = 12 cm
Mértékegységek – itt bukik el a legtöbb pont
A kerület hosszúságegységben áll (mm, cm, dm, m), a terület négyzetes egységben (mm², cm², dm², m²). Átváltásnál ez azt jelenti, hogy a hosszúságok között tízes, a területek között százas a váltószám.
| Hosszúság | Terület |
|---|---|
| 1 cm = 10 mm | 1 cm² = 100 mm² |
| 1 dm = 10 cm | 1 dm² = 100 cm² |
| 1 m = 10 dm | 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm² |
Melyik adatból melyik képlet?
Döntési sorrend feladatmegoldáskor
- Van egy oldal és a hozzá tartozó magasság?Akkor kész is vagy: T = a · ma2. Ez a leggyorsabb út.
- Csak a három oldal van meg?A kerület azonnal kijön, a területhez pedig Héron-képlet kell a félkerülettel.
- Két oldal és a köztük lévő szög?Használd a T = a · b · sin γ2 alakot, a kerülethez viszont a harmadik oldalt is ki kell számolni koszinusztétellel.
- Derékszögű a háromszög?A két befogó szorzatának a fele a terület, a hiányzó oldal Pitagorasz-tétellel jön.
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög oldalai 5 cm, 12 cm és 13 cm. Mekkora a kerülete és a területe?
Ha egy háromszög minden oldalát megkétszerezed, hányszorosára nő a kerülete és a területe?
Egy háromszög területe 60 cm², az egyik oldala 15 cm. Mekkora a hozzá tartozó magasság?
Elég-e a kerület ahhoz, hogy a területet kiszámold?
Gyakori kérdések
Mi a háromszög kerületének és területének a képlete?
A kerület K = a + b + c, vagyis a három oldal összege. A terület T = a · ma2, tehát egy oldal és a rá merőleges magasság szorzatának a fele. Ha csak az oldalak ismertek, a területet Héron-képlettel kapod: T = √s(s-a)(s-b)(s-c), ahol s a félkerület.
Hogyan számolom ki a derékszögű háromszög kerületét és területét?
A terület a két befogó szorzatának a fele: T = a · b2. A kerülethez az átfogó is kell, azt Pitagorasz-tétellel kapod: c = √a2 + b2, majd K = a + b + c. Például 6 és 8 cm-es befogóknál c = 10 cm, K = 24 cm, T = 24 cm².
Mi a különbség a kerület és a terület között?
A kerület a háromszög körvonalának a hossza, mértékegysége cm vagy m. A terület a körvonal által bezárt síkrész nagysága, mértékegysége cm² vagy m². A kettő nem váltható át egymásba: azonos kerületű háromszögeknek különböző területük lehet.
Ki lehet-e számolni a területet, ha csak a kerületet ismerem?
Nem lehet, mert a kerület nem határozza meg a háromszög alakját. Ha viszont tudod, hogy a háromszög szabályos vagy egyenlő szárú adott szárral, akkor az oldalak már kiszámolhatók a kerületből, és onnan a terület is.
Hogyan kapom meg a harmadik oldalt, ha a kerület és két oldal ismert?
Vond ki a kerületből a két ismert oldalt: c = K − a − b. Utána érdemes ellenőrizni, hogy a három szám tényleg háromszöget alkot-e, vagyis bármely két oldal összege nagyobb-e a harmadiknál.
Hány négyzetcentiméter egy négyzetméter?
Pontosan 10 000. A hosszúságoknál 1 m = 100 cm, és mivel a terület két hosszúság szorzata, a váltószám négyzetre emelődik: 100 · 100 = 10 000 cm².