MatematikaMódszertan– főoldal

Területszámítás

Háromszög területének kiszámítása

A feladatok többsége nem azon bukik el, hogy nem tudod a képletet, hanem azon, hogy hiányzik belőle a magasság. Itt az összes út megvan, amivel elő tudod állítani – vagy meg tudod kerülni.

Frissítve: 2 perc olvasás7–12. osztály

Röviden a válasz

A terület alapképlete T = a · ma2, de a magasságot ritkán adják meg. Ha csak a három oldalt ismered, Héron-képlettel kerüld meg: T = √s(s-a)(s-b)(s-c).

Ha van szöged, a magasságot a szinusz adja: ma = c · sin β. Derékszögű háromszögben pedig nincs is mit számolni, mert az egyik befogó maga a magasság.

Területkalkulátor magasság nélkül

Írd be a három oldalt – a terület mellett mindhárom magasságot is megkapod.

azonnal számol

Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.

Bemeneti adatok
a = 21 cmb = 17 cmc = 10 cmABC
Példa:
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

    Miért akad el a számolás?

    A területképlet egy oldalt és a rá merőleges magasságot kér. A feladatszöveg viszont általában oldalakat vagy szögeket ad meg. Két lehetőséged van: vagy előállítod a hiányzó magasságot, vagy olyan képletet választasz, amiben nem is szerepel.

    Mit tegyél, ha nincs magasság
    Amit ismerszMegoldásKell hozzá magasság?
    Három oldalHéron-képletnem
    Két oldal és a köztük lévő szögT = a · b · sin γ2nem
    Egy oldal és két szögelőbb magasság: ma = c · sin βigen, de egy sor
    Két befogó (derékszögű)T = a · b2nem, a befogó maga a magasság
    Alap és szár (egyenlő szárú)magasság Pitagorasz-tételleligen, egy gyökvonás

    Három oldalból: Héron-képlet

    Ez a legáltalánosabb út: bármilyen háromszögre működik, és semmilyen szöget nem kér. Először a félkerület kell, utána egy gyökvonás.

    Héron-képletT = √s(s-a)(s-b)(s-c), s = a + b + c2

    Kidolgozott példa · a = 21 cm, b = 17 cm, c = 10 cm

    Mekkora a terület, és mekkora a leghosszabb oldalhoz tartozó magasság?

    1. Félkerület:s = 21 + 17 + 102 = 24 cm
    2. A három különbség:s − a = 3, s − b = 7, s − c = 14
    3. Behelyettesítés:T = √24 · 3 · 7 · 14 = √7056
    4. Gyökvonás:T = 84 cm2
    5. A magasság már egy osztás:ma = 2 · 8421 = 8 cm

    EredményT = 84 cm², ma = 8 cm

    maa = 21 cmb = 17 cmc = 10 cmABC

    Szögből: a magasság egy sorban kijön

    A csúcsból induló magasság két derékszögű részháromszögre vágja a háromszöget. Ezért ha ismersz egy oldalt és a rajta fekvő szöget, a magasság a szinusz definíciójából azonnal adódik: ma = c · sin β.

    Kidolgozott példa · a = 12 cm, c = 11 cm, β = 55°

    Mekkora a terület, ha a két oldal 55°-os szöget zár be?

    1. Az a oldalhoz tartozó magasság a c oldal és a β szög szorzatából:ma = 11 · sin 55° = 11 · 0,8192
    2. Vagyis:ma = 9,01 cm
    3. Innen a terület:T = 12 · 9,012 = 54,06 cm2

    EredményT = 54,06 cm²

    Derékszögű háromszögnél nincs mit keresni

    A derékszögű háromszög területének kiszámítása azért a legegyszerűbb eset, mert a két befogó merőleges egymásra: az egyik befogó a másikhoz tartozó magasság. Így T = a · b2, és semmilyen külön lépés nem kell.

    Ha az átfogót és az egyik befogót ismered, előbb Pitagorasz-tétellel jön a másik befogó. A teljes esetáttekintés a derékszögű háromszög területének kiszámítása oldalon van.

    Gyors önellenőrzés

    Egy háromszög oldalai 21, 17 és 10 cm. Mekkora a 10 cm-es oldalhoz tartozó magasság?
    A terület 84 cm², tehát m = 2 · 8410 = 16,8 cm. Rövidebb oldalhoz hosszabb magasság tartozik.
    Adott két oldal (9 cm és 14 cm) és a köztük lévő 30°-os szög. Kell hozzá magasság?
    Nem. T = 9 · 14 · 0,52 = 31,5 cm², mert sin 30° = 0,5.
    Mit csinálsz, ha a Héron-képletben negatív szám kerül a gyök alá?
    Ellenőrizd az adatokat: ilyen háromszög nem létezik, mert a két rövidebb oldal összege nem nagyobb a leghosszabbnál.

    Gyakori kérdések

    Hogyan számolom ki a háromszög területét, ha nincs megadva a magasság?

    Ha a három oldal ismert, Héron-képlettel: T = √s(s-a)(s-b)(s-c). Ha két oldalt és a köztük lévő szöget kaptad, a T = a · b · sin γ2 képlet kell. Mindkettőben nélkülözhető a magasság.

    Hogyan lesz a területből magasság?

    Oszd el a terület kétszeresét azzal az oldallal, amelyikhez a magasság tartozik: ma = 2 · Ta. Például 84 cm² terület és 21 cm-es oldal esetén a magasság 8 cm.

    Hogyan történik a derékszögű háromszög területének kiszámítása?

    A két befogó szorzatának a felével: T = a · b2. Itt nem kell magasságot keresni, mert a befogók merőlegesek egymásra.

    Melyik oldalt válasszam alapnak?

    Amelyikhez ismered vagy a legkönnyebben megkapod a magasságot. A terület mindhárom választással ugyanaz – ez egyben jó ellenőrzés is.

    Elég két adat a területhez?

    Csak akkor, ha a két adat egy oldal és a hozzá tartozó magasság. Minden más esetben három adat kell, amelyek közül legalább egy oldalhossz.

    Hova tovább?

    Terület kiszámításaHáromszög terület kiszámítása oldalból, magasságból, szögből: melyik három adat elég hozzá, mely…Terület 3 oldalbólHárom oldalból a Héron-képlet adja meg a háromszög területét. Félkerület, behelyettesítés, ellen…Terület szinusszalA háromszög területe sin-nel: T = a·b·sin γ / 2, ahol γ a két oldal közbezárt szöge. Levezetés, …Derékszögű háromszög területeDerékszögű háromszög területe a két befogó szorzatának a fele. Mi a teendő, ha az átfogót vagy e…Háromszög magasságaHogyan számold ki a háromszög magasságát területből, oldalakból vagy szögekből? Képletek minden …A háromszög területeA háromszög területe az alap és a hozzá tartozó magasság szorzatának a fele. Megmutatjuk, miért …

    Írj be legalább két betűt. A nyilakkal léphetsz, Enterrel megnyitod.