MatematikaMódszertan– főoldal

Területszámítás

Háromszög területe 3 oldalból

Ha se magasság, se szög nincs megadva, csak három szám, akkor is pontosan kiszámolható a terület. Négy lépés, és stimmel.

Frissítve: 2 perc olvasás9–12. osztály

Röviden a válasz

Három oldalból a Héron-képlet adja a területet: T = √s(s-a)(s-b)(s-c), ahol s = a + b + c2 a félkerület.

A menet mindig ugyanaz: félkerület, majd a három különbség, ezek szorzata, végül gyökvonás. Számológépen egyetlen sorban is elvégezhető, így nem halmozódik a kerekítési hiba.

Területszámítás három oldalból

Írd be az $a$, $b$, $c$ oldalt – a terület, a magasságok és a szögek is megjelennek.

azonnal számol

Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.

Bemeneti adatok
a = 9 cmb = 10 cmc = 17 cmABC
Példa:
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

    Előbb ellenőrizd: háromszög-e egyáltalán?

    Mielőtt bármit számolnál, nézd meg, hogy a három számból lehet-e háromszöget építeni. A feltétel az, hogy bármely két oldal összege nagyobb legyen a harmadiknál. Elég a legnagyobb oldalt megvizsgálni:

    Háromszög-egyenlőtlenség (a legnagyobb oldal: $c$)a + b > c

    Ha ez nem teljesül, a Héron-képlet alatt negatív szám kerül a gyökjel alá, és a számológép hibát ír ki. Ez nem a te hibád – a feladat adatai nem alkotnak háromszöget. Erről bővebben a háromszög-egyenlőtlenség oldalon.

    A Héron-képlet négy lépésben

    A számolás menete

    1. 1. FélkerületAdd össze a három oldalt, és oszd el kettővel: s = a + b + c2.
    2. 2. Három különbségSzámold ki az s − a, s − b és s − c értékeket. Mindhárom pozitív kell legyen.
    3. 3. SzorzatSzorozd össze a félkerületet és a három különbséget.
    4. 4. GyökvonásA szorzat gyöke a terület. Az egység mindig négyzetes: cm², m².
    Héron-képletT = √s(s-a)(s-b)(s-c)A képlet minden háromszögre működik: hegyesszögűre, derékszögűre és tompaszögűre egyaránt.

    Kidolgozott példa: 9, 10 és 17 cm

    Kidolgozott példa · a = 9 cm, b = 10 cm, c = 17 cm

    Mekkora a háromszög területe?

    1. Létezik-e a háromszög? A két rövidebb oldal összege:9 + 10 = 19 > 17
    2. Félkerület:s = 9 + 10 + 172 = 362 = 18 cm
    3. A három különbség:s − a = 9, s − b = 8, s − c = 1
    4. Szorzat a gyök alatt:18 · 9 · 8 · 1 = 1296
    5. Gyökvonás:T = √1296 = 36 cm2

    EredményT = 36 cm²

    a = 9 cmb = 10 cmc = 17 cmABC

    Második példa nagyobb számokkal

    Kidolgozott példa · a = 6 m, b = 25 m, c = 29 m

    Mekkora egy ilyen oldalú telekrészlet területe?

    1. Félkerület:s = 6 + 25 + 292 = 602 = 30 m
    2. Különbségek:s − a = 24, s − b = 5, s − c = 1
    3. Szorzat:30 · 24 · 5 · 1 = 3600
    4. Gyökvonás:T = √3600 = 60 m2

    EredményT = 60 m²

    A terület ismeretében bármelyik magasság egy osztással megvan. Itt például a legrövidebb oldalhoz tartozó magasság ma = 2 · 606 = 20 m. A módszer részletei a háromszög magasságának kiszámítása oldalon.

    Másik út: koszinusztétel, majd szinuszos területképlet

    Ha a feladat úgyis kéri a szögeket, nem muszáj Héron-képlettel menni. A koszinusztételből kiszámolhatod az egyik szöget, és utána a szinuszos területképlet zárja a kört. Ugyanazt az eredményt kapod.

    Koszinusztétel a c oldallal szemközti szögrecos γ = a2 + b2 − c22 · a · b
    Terület két oldalból és a közbezárt szögbőlT = a · b · sin γ2

    Kidolgozott példa · Ugyanaz a 9–10–17 cm-es háromszög, másik úton

    Ellenőrizzük a 36 cm²-t koszinusztétellel!

    1. A leghosszabb oldallal szemközti szög koszinusza:cos γ = 92 + 102 − 1722 · 9 · 10 = 81 + 100 − 289180
    2. Vagyis:cos γ = -108180 = -0,6 → γ = 126,87°
    3. A szög szinusza:sin γ = 0,8
    4. Terület:T = 9 · 10 · 0,82 = 36 cm2

    EredményT = 36 cm² – ugyanaz, mint a Héron-képlettel.

    Gyakori hibák három oldalból számoláskor

    Ellenőrző számpárok – ezekkel tesztelheted a számolásodat
    Oldalak (cm)FélkerületTerület (cm²)
    3, 4, 566 (derékszögű)
    5, 12, 131530 (derékszögű)
    9, 10, 171836
    13, 14, 152184

    Gyors önellenőrzés

    Mekkora a 4, 13 és 15 cm oldalú háromszög területe Héron-képlettel?
    Félkerület: s = 16. Különbségek: 12, 3, 1. Szorzat: 16 · 12 · 3 · 1 = 576, tehát T = √576 = 24 cm².
    Kiszámolható-e a 2, 3 és 6 cm oldalú háromszög területe?
    Nem, mert 2 + 3 = 5 < 6: ilyen háromszög nem létezik. A Héron-képletben az s − c negatív lenne, és a gyök alatt negatív szám állna.
    Miért mindig négyzetes az eredmény mértékegysége?
    Mert a gyök alatt négy hosszúságadat szorzata áll, ami cm⁴ jellegű mennyiség; ennek a négyzetgyöke cm². A képlet tehát a mértékegységekkel is konzisztens.

    Gyakori kérdések

    Hogyan számolom ki a háromszög területét 3 oldalból?

    A Héron-képlettel: számolj félkerületet (s = a+b+c2), majd T = √s(s-a)(s-b)(s-c). Például 9, 10 és 17 cm oldalaknál s = 18, a szorzat 18 · 9 · 8 · 1 = 1296, tehát T = 36 cm².

    Mi az a félkerület, és miért kell hozzá?

    A félkerület a három oldal összegének a fele. A Héron-képlet ebben az alakban a legrövidebb; ha teljes kerülettel dolgoznál, bonyolultabb, négyzetgyök alatti kifejezést kapnál.

    Működik-e a Héron-képlet tompaszögű háromszögre is?

    Igen, minden háromszögre működik, függetlenül attól, hogy hegyesszögű, derékszögű vagy tompaszögű. A képlet csak az oldalhosszakat használja, a szögeket nem.

    Mit tegyek, ha a gyök alatt negatív szám jön ki?

    Akkor a megadott három számból nem lehet háromszöget építeni: valamelyik két oldal összege nem nagyobb a harmadiknál. Ellenőrizd az adatokat, illetve azt, hogy nem kevered-e a mértékegységeket.

    Van-e a Héron-képleten kívül más módszer három oldalra?

    Igen: koszinusztétellel kiszámolhatod az egyik szöget, majd a T = a · b · sin γ2 képlettel a területet. Hosszabb út, viszont közben a szögeket is megkapod.

    Hova tovább?

    Terület oldalakbólHa csak a három oldal ismert, a Héron-képlet adja a háromszög területét: félkerület, majd egy gy…TerületképletekA háromszög területének nyolc képlete: alap és magasság, Héron, szinuszos, szabályos, derékszögű…Terület szinusszalA háromszög területe sin-nel: T = a·b·sin γ / 2, ahol γ a két oldal közbezárt szöge. Levezetés, …Kerület és terület együttA háromszög kerülete a három oldal összege, a területe alap szor magasság per kettő. Képletek, m…Tompaszögű háromszög területeTompaszögű háromszögnél ugyanaz a területképlet érvényes, csak a magasság talppontja kívülre esi…Háromszög-egyenlőtlenségA háromszög-egyenlőtlenség szerint bármely két oldal összege nagyobb a harmadiknál. Itt a tétel,…

    Írj be legalább két betűt. A nyilakkal léphetsz, Enterrel megnyitod.