Tompaszögű háromszög szerkesztése – 120°-os szög is

Tompaszögű-e? Ellenőrző kalkulátor

Add meg a három oldalt: a kiemelt érték a legnagyobb szög. Ha ez 90° fölött van, a háromszög tompaszögű – a 7 – 5 – 3 cm-es alapbeállítás pontosan 120°-ot ad.

azonnal számol

Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
c oldal: –
Felszín: –
β szög: –
γ szög: –
Terület: –
Kerület: –
m_a magasság: –
m_b magasság: –
m_c magasság: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

Melyik szög lesz tompa?

Egy háromszögnek legfeljebb egy tompaszöge lehet, hiszen két 90° fölötti szög összege már túllépné a 180°-ot. Ez az egy szög mindig a leghosszabb oldallal szemben van, ezért szerkesztés előtt elég egyetlen összehasonlítást elvégezned.

A tompaszögűség feltétele (a a leghosszabb oldal)a² > b² + c²A koszinusztétel szerint cos α = b² + c² − a²2bc; ez akkor negatív, ha a² nagyobb a másik két négyzet összegénél – a negatív koszinusz pedig tompaszöget jelent.

Példák: mikor billen át tompaszögbe a háromszög
Oldalak (cm)	Összehasonlítás	A legnagyobb szög
7 – 5 – 3	49 > 25 + 9 = 34	120° (tompaszögű)
10 – 8 – 6	100 = 64 + 36	90° (derékszögű)
9 – 8 – 6	81 < 64 + 36 = 100	78,6° (hegyesszögű)

A 120°-os szög szerkesztése körzővel

A 120° azért különleges, mert a szabályos háromszög szögének kétszerese, és épp ezért egyetlen körzőnyílással kimérhető. A kör sugarát a saját körére felmérve mindig 60°-os középponti szöget kapsz – kétszer egymás után felmérve 120°-ot.

A 120°-os szög szerkesztése

Húzz egy egyenest, és jelöld ki rajta a szög csúcsát (A).
Tetszőleges (de nem túl kicsi) körzőnyílással rajzolj félkört az A pont körül. A félkör az egyenest két pontban metszi – legyen az egyik P.
Ugyanezzel a nyílással szúrj P-be, és metszd el a félkört: az így kapott Q pont az AP félegyenestől 60°-ra van.
Szúrj Q-ba ugyanazzal a nyílással, és metszd el újra a félkört: az R pont már 120°-ra van a P-től.
Húzd meg az AR félegyenest: az A csúcsnál lévő PAR szög pontosan 120°.

Szerkesztés két oldalból és a közbezárt tompaszögből

Kidolgozott példa · b = 5 cm, c = 3 cm, α = 120°

Szerkeszd meg a háromszöget, és számold ki a harmadik oldalt!

Szerkeszd meg a 120°-os szöget az A csúcsnál a fenti körzős módszerrel.α = 120°
Az egyik szárra mérd fel a c oldalt: így kapod a B csúcsot.AB = c = 3 cm
A másik szárra mérd fel a b oldalt: így kapod a C csúcsot.AC = b = 5 cm
Kösd össze B-t és C-t. A harmadik oldal koszinusztétellel:a² = 5² + 3² − 2 · 5 · 3 · cos 120°
Mivel cos 120° = -0,5, a kivonásból összeadás lesz:a² = 25 + 9 + 15 = 49
Innen a harmadik oldal:a = 7 cm

Eredménya = 7 cm – a leghosszabb oldal valóban a 120°-os szöggel néz szembe.

Ugyanez a háromszög három oldalból is megszerkeszthető: mérd fel az AB = 3 cm szakaszt, majd rajzolj A-ból 5 cm-es, B-ből 7 cm-es körívet. A metszéspont a C csúcs, és az A-nál mért szög 120° lesz. A többi szög ellenőrzésre: β = 38,2° és γ = 21,8°.

Amire a tompaszög miatt figyelned kell

A tompaszöggel szomszédos két oldalhoz tartozó magasság a háromszögön kívülre esik – ilyenkor az oldalt meg kell hosszabbítani a talppontig.
A magasságpont és a körülírt kör középpontja is a háromszögön kívül van.
A rajz elfér a füzetben, ha a hosszú oldalt vízszintesen veszed fel alapnak – a tompaszög csúcsa így a lap közepe felé kerül.
A koszinusztételben a cos értéke negatív lesz: ne felejtsd el, hogy a mínusz-mínusz plusszá válik.

Tompaszögű háromszög: a magasság talppontja az oldal meghosszabbítására esik, a magasságvonal a háromszögön kívül halad.

Gyors önellenőrzés

Tompaszögű-e a 6 – 4 – 3 cm oldalú háromszög?

Igen: 36 > 16 + 9 = 25, tehát a 6 cm-es oldallal szemközti szög nagyobb 90°-nál. (Megszerkeszthető, mert 4 + 3 = 7 > 6.)

Lehet egy háromszögnek két tompaszöge?

Nem, mert két 90° fölötti szög összege már meghaladná a 180°-ot, és a harmadik szögre nem maradna hely.

Miért elég egyetlen körzőnyílás a 120°-hoz?

Mert a kör sugara a saját körén 60°-os középponti szöget mér ki. Ha ezt kétszer egymás után felméred, 120°-ot kapsz – szögmérő nélkül.

Gyakori kérdések

Hogyan szerkesztek tompaszögű háromszöget?

Ha a tompaszög és a két szára ismert, vedd fel a szöget, mérd rá a két oldalhosszt, és kösd össze a végpontokat. Ha három oldal adott, a szokásos köríves szerkesztést használd – a tompaszög magától adódik a leghosszabb oldallal szemben.

Mikor tompaszögű egy háromszög?

Ha az egyik szöge 90°-nál nagyobb. Oldalakból úgy dönthető el, hogy a leghosszabb oldal négyzete nagyobb a másik kettő négyzetösszegénél: a² > b² + c².

Hogyan szerkesztek 120°-os szöget szögmérő nélkül?

Rajzolj félkört a szög csúcsa köré, majd ugyanazzal a körzőnyílással mérd fel a sugarat kétszer egymás után a félkörre. Az első felmérés 60°-ot, a második 120°-ot ad.

Hol van a tompaszögű háromszög magassága?

A tompaszög csúcsából induló magasság belül halad, a másik két magasság talppontja viszont az oldal meghosszabbítására, tehát a háromszögön kívülre esik.

Melyik csúcsnál van a tompaszög?

A leghosszabb oldallal szemközti csúcsnál. Ez a szabály a szerkesztés vázlatrajzánál is segít: ha az ábrád mást mutat, valamelyik adatot rossz helyre írtad.