Testek: felszín és térfogat
A kocka térfogata
A kocka a legegyszerűbb test: egyetlen adatból, az élhosszból minden kiszámolható. Cserébe itt derül ki leglátványosabban, mit jelent a köbre emelés.
Röviden a válasz
A kocka térfogata az élhossz köbe: V = a3. Ha az él 5 cm, akkor V = 53 = 5 · 5 · 5 = 125 cm³.
Visszafelé köbgyököt vonsz: a = gyök3(V). A térfogat mindig köbegységben (cm³, dm³, m³) jön ki, mert három hosszúságot szoroztál össze.
Kockakalkulátor
Egyetlen adat elég: él, térfogat, felszín vagy testátló – a másik hármat kiszámoljuk.
Egy adatból az összes többi következik: él, térfogat, felszín vagy testátló.
- a oldal
- –
- Térfogat
- –
- Felszín
- –
- d átmérő / átló
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A kocka térfogatának képlete
A képlet nem varázslat: a kocka olyan téglatest, amelynek mindhárom éle egyenlő. A téglatest térfogata a · b · c, és ha a = b = c, akkor ebből a3 lesz. Kézzelfoghatóan: egy 5 cm élű kockába pontosan 125 darab 1 cm élű egységkocka fér – 5 sor, 5 oszlop, 5 réteg.
Kidolgozott példák
Kidolgozott példa · Élből: a = 5 cm
Mekkora az 5 cm élű kocka térfogata és felszíne?
- Térfogat – az él köbe:V = a3 = 53 = 125 cm3
- Felszín – hat egybevágó négyzet:A = 6 · a2 = 6 · 25 = 150 cm2
- Testátló (a Pitagorasz-tétel kétszeri alkalmazásával):d = a · √3 = 5 · 1,7321 = 8,66 cm
EredményV = 125 cm³, A = 150 cm², d ≈ 8,66 cm
Kidolgozott példa · Visszafelé: V = 343 cm³
Egy kocka térfogata 343 cm³. Mekkora az éle?
- Az élhez köbgyököt vonsz:a = gyök3(V) = gyök3(343)
- Keresd meg, melyik szám köbe 343 – próbálgatva: 7 · 7 = 49, 49 · 7 = 343:a = 7 cm
- Ellenőrzés visszafelé:73 = 343 cm3
Eredménya = 7 cm
Kidolgozott példa · Felszínből: A = 216 cm²
Egy kocka felszíne 216 cm². Mekkora a térfogata?
- A felszín hat egybevágó lapból áll, ezért egy lap területe:a2 = A6 = 2166 = 36 cm2
- Az él a lap oldala:a = √36 = 6 cm
- A térfogat ebből:V = 63 = 216 cm3
Eredménya = 6 cm, V = 216 cm³
Él, térfogat, felszín – egy táblázatban
| Él (a) | Térfogat (a3) | Felszín (6a2) | Testátló (a · √3) |
|---|---|---|---|
| 1 cm | 1 cm³ | 6 cm² | 1,73 cm |
| 2 cm | 8 cm³ | 24 cm² | 3,46 cm |
| 3 cm | 27 cm³ | 54 cm² | 5,20 cm |
| 5 cm | 125 cm³ | 150 cm² | 8,66 cm |
| 10 cm | 1000 cm³ | 600 cm² | 17,32 cm |
A táblázat utolsó sora a legfontosabb a gyakorlatban: a 10 cm élű kocka térfogata 1000 cm³, azaz 1 dm³, vagyis pontosan 1 liter. Ezt érdemes fejből tudni, mert innen minden térfogat-átváltás levezethető. A felszínről külön oldalunk van: kocka felszíne.
Négy gyakori feladattípus
Bármelyik adatot is kapod meg, mindig ugyanoda kell eljutnod: az élhez. Ha az megvan, a térfogat egy köbre emelés.
Az élhez vezető négy út
- Az élt adják megSemmi teendő, jöhet a V = a3.
- A térfogatot adják megKöbgyököt vonsz: a = gyök3(V). Érdemes fejből tudni néhány köbszámot: 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000.
- A felszínt adják megOszd hattal, majd vonj négyzetgyököt: a = √A6, mert a felszín hat egybevágó négyzetből áll.
- A testátlót adják megOszd √3-mal: a = d√3 ≈ d1,732, mert a testátló mindig az él √3-szorosa.
Van egy ötödik eset is: ha a kocka egy lapjának területét adják meg. Ilyenkor az a lap egy négyzet, tehát a = √T – ne oszd el hattal, mert az egy lap területe, nem a felszín.
Mértékegységek: miért 1000 a váltószám?
Mert a térfogatnál a hosszúságegység is a köbön szerepel. 1 dm = 10 cm, tehát 1 dm3 = 103 cm3 = 1000 cm3. Ugyanígy 1 m3 = 1000 dm3 = 1 000 000 cm3. Ez a leggyakoribb buktató az egész témakörben.
| A kocka éle | Térfogata | Hétköznapi név |
|---|---|---|
| 1 cm | 1 cm³ | 1 milliliter |
| 10 cm = 1 dm | 1000 cm³ = 1 dm³ | 1 liter |
| 100 cm = 1 m | 1000 dm³ = 1 m³ | 1000 liter |
További váltásokra és képletekre a térfogatszámítás, az egységek rendszerére pedig a térfogat mértékegységei oldal való. Ha az élek nem egyformák, a téglatest térfogata oldalon folytasd.
Gyors önellenőrzés
Egy kocka éle 4 cm. Mekkora a térfogata?
Egy kocka térfogata 1000 cm³. Mekkora az éle?
Egy 2 cm élű kockából hányat lehet berakni egy 6 cm élűbe?
Mekkora annak a kockának az éle, amelynek testátlója 8,66 cm?
Gyakori kérdések
Mi a kocka térfogatának képlete?
A kocka térfogata V = a3, ahol a az élhossz. Ez azt jelenti, hogy az élt önmagával kétszer szorzod: a · a · a. Például 5 cm-es élnél V = 125 cm³.
Hogyan számolom ki a kocka élét a térfogatból?
Köbgyököt vonsz: a = gyök3(V). Ha V = 343 cm³, akkor a = 7 cm, mert 7 · 7 · 7 = 343. Számológépen az x^{1/3} vagy a köbgyök gomb végzi el.
Mennyi a kocka felszíne és térfogata ugyanabból az élből?
A felszín A = 6a2 (hat egybevágó négyzet), a térfogat V = a3. Az a = 5 cm élű kockánál A = 150 cm², V = 125 cm³. A felszín négyzetes, a térfogat köbegységben mérendő.
Hány liter egy kocka térfogata?
Számold ki dm³-ben, mert 1 dm³ = 1 liter. Egy 10 cm (= 1 dm) élű kocka pontosan 1 liter, egy 20 cm élű pedig 8 liter, mert az él duplázása a térfogatot nyolcszorozza.
Mekkora a kocka testátlója?
A testátló d = a · √3 ≈ 1,732 · a. Ez a Pitagorasz-tétel kétszeri alkalmazásából jön: előbb a lapátló a · √2, majd ebből és az élből a testátló. Öt centis élnél d ≈ 8,66 cm.
Miért nem 3-mal szorzunk a köbre emelés helyett?
Mert a térfogat három irányban való kiterjedést mér: hosszúság · szélesség · magasság. A 3a csak három élhossz összege lenne, ami hosszúság marad, nem térfogat. A mértékegység is ezt mutatja: cm · cm · cm = cm³.