Testek: felszín és térfogat
A hasáb térfogata
Egyetlen képlet minden hasábra: alapterület szorozva magassággal. A munka nem is a szorzás, hanem az alaplap területének kiszámítása – ezen áll vagy bukik a feladat.
Röviden a válasz
A hasáb térfogata az alaplap területének és a magasságnak a szorzata: V = Ta · m. Egy négyzetes hasábnál, amelynek alapéle 6 cm, magassága 15 cm: Ta = 36 cm², tehát V = 36 · 15 = 540 cm³.
Ez a képlet minden egyenes hasábra érvényes, akármilyen sokszög is az alaplap. Az egyetlen feladatod, hogy az alaplap területét helyesen számold ki.
Hasábkalkulátor
Add meg az alaplap területét és a magasságot; ha az alap kerületét is beírod, a felszín is kijön.
Az alaplap területe és a test magassága kell; az alap kerületével a felszín is megvan.
- Alapterület
- –
- Alap kerülete
- –
- m magasság
- –
- Palást
- –
- Felszín
- –
- Térfogat
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Egy képlet minden hasábra
A hasábnak két egybevágó, párhuzamos alaplapja van, az oldallapjai pedig téglalapok (egyenes hasáb esetén). Bármilyen magasságban vágod el vízszintesen, ugyanazt a sokszöget kapod – ezért elég egyetlen keresztmetszet területét megszorozni a magassággal.
Négyzetes hasáb: a leggyakoribb eset
Négyzetes hasábnak azt a hasábot nevezzük, amelynek az alaplapja négyzet. Ez lényegében egy téglatest, amelynek két éle egyenlő – a feladatokban ez fordul elő a legtöbbször.
Kidolgozott példa · Négyzetes hasáb: alapél 6 cm, magasság 15 cm
Mekkora a térfogata és a felszíne?
- Az alaplap egy négyzet, a területe:Ta = a2 = 62 = 36 cm2
- Térfogat:V = Ta · m = 36 · 15 = 540 cm3
- Az alap kerülete a palásthoz:Ka = 4 · 6 = 24 cm
- Palást (négy téglalap):P = Ka · m = 24 · 15 = 360 cm2
- Felszín (két alaplap + palást):A = 2 · 36 + 360 = 432 cm2
EredményV = 540 cm³, A = 432 cm²
Ha az alaplap nem négyzet
A képlet ugyanaz marad, csak az alapterület kiszámítása változik. Ezért érdemes fejből tudni a leggyakoribb síkidomok területképletét.
| Alaplap | Alapterület | Térfogat |
|---|---|---|
| Négyzet (a) | Ta = a2 | V = a2 · m |
| Téglalap (a, b) | Ta = a · b | V = a · b · m |
| Háromszög | Ta = a · ma2 | lásd: háromszög alapú hasáb |
| Szabályos hatszög (a) | Ta = 3 · √32 · a2 | V = Ta · m |
| Kör (r) | Ta = r2 · π | lásd: henger térfogata |
Kidolgozott példa · Szabályos hatszög alapú hasáb: a = 4 cm, m = 9 cm
Mekkora a térfogata? (A hatszög hat szabályos háromszögből áll.)
- A szabályos hatszög területe hat szabályos háromszög területe:Ta = 6 · a2 · √34 = 3 · √32 · a2
- Behelyettesítve (√3 ≈ 1,7321):Ta = 2,5981 · 16 = 41,57 cm2
- Térfogat:V = 41,57 · 9 = 374,13 cm3
EredményV ≈ 374,1 cm³
Egyenes és ferde hasáb
Az egyenes hasábnál az oldalélek merőlegesek az alaplapra, így az oldalél hossza megegyezik a magassággal. A ferde hasábnál az oldalélek megdőlnek – ilyenkor az oldalél hosszabb, mint a magasság, és a térfogatképletbe továbbra is a magasságot, vagyis a két alaplap merőleges távolságát kell behelyettesíteni.
A csúcsba futó testeknél ez az arány megváltozik: a gúla térfogata az azonos alapú hasáb harmada. Ha az élek mind különbözőek, a téglatest térfogata az egyszerűbb eset; ha mind egyenlők, a kocka térfogata oldalra ugorj.
Gyors önellenőrzés
Egy hasáb alapterülete 24 cm², magassága 7 cm. Mekkora a térfogata?
Egy négyzetes hasáb térfogata 500 cm³, alapéle 5 cm. Mekkora a magassága?
Mi a különbség az oldalél és a magasság között ferde hasábnál?
Gyakori kérdések
Mi a hasáb térfogatának képlete?
A hasáb térfogata V = Ta · m, ahol Ta az alaplap területe, m a magasság. Ez minden hasábra igaz, függetlenül attól, milyen sokszög az alaplap.
Hogyan számolom ki a négyzetes hasáb térfogatát?
Az alaplap négyzet, tehát Ta = a2, és V = a2 · m. Ha az alapél 6 cm, a magasság 15 cm, akkor V = 36 · 15 = 540 cm³. A felszíne közben A = 2 · 36 + 24 · 15 = 432 cm².
Mi a különbség az egyenes és a ferde hasáb között?
Egyenes hasábnál az oldalélek merőlegesek az alaplapra, ezért az oldalél hossza egyenlő a magassággal. Ferde hasábnál az élek megdőlnek. A térfogat képlete ugyanaz, de mindig a magasságot – a két alaplap merőleges távolságát – kell behelyettesíteni.
Mennyi a hasáb felszíne?
A felszín két alaplap és a palást összege: A = 2 · Ta + Ka · m, ahol Ka az alaplap kerülete. A palást ugyanis kiterítve egy Ka széles, m magas téglalap.
A téglatest is hasáb?
Igen, a téglatest téglalap alaplapú egyenes hasáb, a kocka pedig négyzet alaplapú, amelynek a magassága is az alapéllel egyenlő. A henger szintén hasábként viselkedik, csak kör az alaplapja.