Háromszögfajták
Konkáv háromszög
A kérdés jogos, a válasz viszont nem „általában nem", hanem „soha". Itt megnézzük, miért, és azt is, hány oldal kell ahhoz, hogy egy sokszög konkáv lehessen.
Röviden a válasz
Konkáv háromszög nem létezik – minden háromszög konvex. Egy sokszög akkor konkáv, ha van legalább egy 180°-nál nagyobb (úgynevezett homorú vagy reflex) belső szöge. A háromszög három belső szögének összege viszont pontosan 180°, így egyetlen szöge sem érheti el a 180°-ot.
Konkáv sokszöghöz legalább négy oldal kell. A legismertebb példa a nyílhegy alakú négyszög, amelynek az egyik szöge 180° fölé nyílik.
Mikor konkáv egy alakzat?
Két egyenértékű definíció szokott előfordulni, és mindkettőből ugyanaz jön ki a háromszögre.
- Szögek felől: egy sokszög konvex, ha minden belső szöge kisebb 180°-nál. Ha van 180°-nál nagyobb szöge, akkor konkáv.
- Pontok felől: egy alakzat konvex, ha bármely két belső pontját összekötő szakasz teljes egészében az alakzaton belül marad. Ha van olyan szakasz, amelyik „kilóg", az alakzat konkáv.
Van egy harmadik, rajzoláskor jól használható változat is: a konvex alakzat oldalainak egyenesei közül egyik sem vágja ketté az alakzatot – mindig az egyik oldalukon marad az egész sokszög.
Miért nem lehet konkáv egy háromszög?
Az indoklás egy sor. A háromszög belső szögeinek összege 180°, a szögek pedig pozitívak. Ha az egyik szög 180° vagy annál nagyobb lenne, a másik kettőnek együtt 0° vagy negatív érték maradna – ilyen szög viszont nincs.
Ha pedig a szakaszos definícióval gondolkodsz: a háromszög három félsík közös része (mindegyik oldal egyeneséhez tartozik egy félsík). Két konvex halmaz metszete mindig konvex, három félsíké tehát szintén – így a háromszög szükségszerűen konvex.
Kidolgozott példa · α = 24°, β = 31°
Mekkora a harmadik szög, és lehet-e ettől konkáv a háromszög?
- A harmadik szög a szögösszegből:γ = 180° − 24° − 31° = 125°
- A 125° tompaszög, de kisebb 180°-nál, tehát a háromszög konvex – csak épp tompaszögű.125° < 180°
- Ha γ-t egyre nagyobbnak akarnánk, a másik két szögnek zsugorodnia kellene. Még α = β = 0,5° esetén is:γ = 180° − 0,5° − 0,5° = 179°
EredményA legnagyobb szög tetszőlegesen közel kerülhet a 180°-hoz, de sosem éri el – így a háromszög mindig konvex marad.
Hány oldal kell a konkávsághoz?
Egy n oldalú sokszög belső szögeinek összege (n − 2) · 180°. Minél több oldal van, annál több „fér bele" – négyszögtől kezdve már marad hely egy 180°-nál nagyobb szögnek is.
| Sokszög | Belső szögek összege | Lehet konkáv? |
|---|---|---|
| Háromszög | 180° | Nem, soha |
| Négyszög | 360° | Igen (pl. nyílhegy alakú négyszög) |
| Ötszög | 540° | Igen |
| n-szög | (n − 2) · 180° | Igen, ha n ≥ 4 |
Kidolgozott példa · Konkáv négyszög: 70°, 80° és 25°
Egy négyszög három szöge 70°, 80° és 25°. Mekkora a negyedik, és mit jelent ez?
- A négyszög belső szögeinek összege:(4 − 2) · 180° = 360°
- A negyedik szög:δ = 360° − (70° + 80° + 25°) = 360° − 175° = 185°
- A 185° nagyobb az egyenesszögnél, tehát ez a csúcs befelé „horpad".185° > 180°
EredményA négyszög konkáv. Háromszögnél ilyen soha nem fordulhat elő, mert ott a teljes szögösszeg is csak 180°.
Akkor mire használjuk mégis a konvex szót?
Épp azért, mert a háromszögre mindig igaz: gyakran mondjuk ki tételekben feltételként, hogy „konvex sokszög", és a háromszög automatikusan teljesíti. A konvex háromszög kifejezés tehát nem hibás, csak fölösleges – olyan, mintha „négyszögletes négyzetet" mondanánk.
Ha egy feladat mégis „konkáv háromszöget" említ, két dolog állhat mögötte: vagy elgépelés (konkáv négyszög), vagy egy nem síkbeli, illetve nem egyenes oldalú alakzat, például görbe vonalakkal határolt „háromszög" – de az már nem háromszög a szó geometriai értelmében. A fajták teljes listáját a háromszög fajtái oldalon nézheted meg.
Gyors önellenőrzés
Van olyan háromszög, amelynek egy szöge 180°?
Igaz-e, hogy minden háromszög konvex?
Egy négyszög szögei 95°, 95°, 60° és 110°. Konkáv?
Gyakori kérdések
Létezik konkáv háromszög?
Nem. Minden háromszög konvex, mert a belső szögeinek összege 180°, így egyik szöge sem lehet 180°-nál nagyobb. Konkávsághoz legalább négy oldal kell.
Mit jelent a konkáv és a konvex szó?
A konvex domborút, a konkáv homorút jelent. Egy sokszög konvex, ha minden belső szöge kisebb 180°-nál, és bármely két pontját összekötő szakasz belül marad; konkáv, ha van 180°-nál nagyobb szöge.
A tompaszögű háromszög konkáv?
Nem. A tompaszög 90° és 180° közé esik, tehát kisebb az egyenesszögnél. A tompaszögű háromszög lapos, de ugyanúgy konvex, mint a többi.
Melyik a legegyszerűbb konkáv sokszög?
A konkáv négyszög, például a nyílhegy alakú (deltoidból származó) négyszög, amelynek az egyik belső szöge 180° fölött van. Három oldallal ez nem valósítható meg.
Mekkora lehet a háromszög legnagyobb szöge?
Bármekkora 180° alatt: lehet 179,9° is, ha a másik két szög elég kicsi. A 180°-ot viszont nem érheti el, mert akkor a három csúcs egy egyenesre esne.