Háromszögfajták
Konvex háromszög
A „konvex háromszög" kifejezés valójában szóismétlés: nem konvex háromszög nem létezik. Itt van, miért, és hol kezdődik a konkáv alakzatok világa.
Röviden a válasz
Minden háromszög konvex – nincs olyan háromszög, amelyik ne lenne az. Egy sokszög akkor konvex, ha minden belső szöge kisebb 180°-nál, a háromszög három szögének összege viszont pontosan 180°, tehát mindegyik szög kisebb ennél.
Ugyanez másképp: ha a háromszög két tetszőleges pontját összekötöd, a szakasz végig a háromszögön belül marad. Konkáv (behorpadó) sokszög legkorábban négy csúcsnál fordulhat elő.
Mit jelent a konvex?
Egy síkidom konvex, ha bármely két pontját összekötő szakasz teljes egészében az alakzaton belül marad. Ha van olyan pontpár, amelynél a szakasz kilóg, az alakzat konkáv. Sokszögeknél ez egyszerűbben is megfogalmazható: konvex a sokszög, ha minden belső szöge kisebb 180°-nál.
A 180°-nál nagyobb belső szöget homorúszögnek nevezzük. Ilyen szögnél a sokszög oldala mintegy „befelé fordul", és a csúcs benyomódik az alakzatba – ez a horpadás.
Miért konvex minden háromszög?
Két rövid indoklás is van rá, és mindkettőt érdemes ismerni.
- A szögek összegéből. A háromszög belső szögeinek összege 180°. Ha bármelyik szög 180° vagy annál nagyobb lenne, a másik kettőnek nulla vagy negatív fokot kellene kitennie – ilyen szög pedig nincs. Tehát mindhárom szög szükségszerűen kisebb 180°-nál, vagyis a háromszög konvex.
- A félsíkokból. A háromszög három félsík közös része: mindhárom oldal egyenese kettévágja a síkot, és a háromszög abban a metszetben van, amelyik mindhárom félsíkba beleesik. A félsík konvex, konvex halmazok metszete pedig szintén konvex.
Négyszögnél viszont már előfordul
A négyszögek belső szögeinek összege 360°, itt tehát elfér egy 180°-nál nagyobb szög is. Nézzünk egy konkrét, koordinátákkal megadott példát.
Kidolgozott példa · Az A(0; 0), B(6; 0), C(2; 2), D(0; 6) négyszög
Konkáv-e a négyszög, és melyik csúcsánál horpad be?
- A C pont az A, B, D csúcsok alkotta háromszögön belül van, hiszen a BD egyenes egyenlete x + y = 6, és C-re2 + 2 = 4 < 6
- Ezért a C-nél lévő belső szög homorúszög lesz. A C-ből induló két oldal vektora CB = (4; -2) és CD = (-2; 4), a köztük lévő φ szög:cos φ = 4 · (-2) + (-2) · 4√20 · √20 = -1620 = -0,8 → φ = 143,13°
- A két oldal tehát 143,13°-os szöget zár be, a négyszög belső szöge viszont a másik oldalon van, a teljes szögből kivonva:360° − 143,13° = 216,87°
- Ellenőrzés a szögösszeggel (a másik három szög 90°, 26,57° és 26,57°):90° + 26,57° + 216,87° + 26,57° = 360°
EredményA négyszög konkáv, a C csúcsnál 216,87°-os homorúszöggel.
Háromszögnél ez a helyzet reménytelen: nincs annyi „szögtartalék", hogy egy csúcs benyomódjon. A belső szögek összege mindig pontosan 180°, és ez zárja ki a konkáv esetet.
| Sokszög | Belső szögek összege | Lehet konkáv? |
|---|---|---|
| Háromszög | 180° | nem, soha |
| Négyszög | 360° | igen (például a nyílhegy alakú) |
| Ötszög | 540° | igen |
| n oldalú sokszög | (n − 2) · 180° | igen, ha n ≥ 4 |
Mire jó ez a gyakorlatban?
A konvexitás miatt működnek a háromszögek megszokott tulajdonságai. A beírt kör középpontja mindig belül van, a súlypont szintén, és bármely belső pontból mindhárom csúcs „ellátszik". Ezért lehet a háromszöget három kisebb háromszögre bontani egy tetszőleges belső pontból – és ezért adódik például, hogy a beírt kör sugarára T = r · s teljesül, ahol s a félkerület.
A magasságpont és a köré írt kör középpontja ellenben kikerülhet a háromszögből – ezek ugyanis nem a konvexitáson múlnak, hanem a szögek nagyságán. Ez a különbség szokta megzavarni a diákokat: a háromszög konvex marad akkor is, ha egyes nevezetes pontjai kívülre esnek.
Gyors önellenőrzés
Konvex-e az a háromszög, amelynek szögei 15°, 20° és 145°?
Létezik konkáv háromszög?
Hány csúcsa lehet legalább egy konkáv sokszögnek?
Gyakori kérdések
Minden háromszög konvex?
Igen, kivétel nélkül. A belső szögek összege 180°, ezért egyetlen szög sem érheti el a 180°-ot, márpedig a konkáv alakhoz épp erre lenne szükség.
Mit jelent a konvex háromszög?
Azt, hogy a háromszög bármely két pontját összekötő szakasz a háromszögön belül marad, és minden belső szöge kisebb 180°-nál. Mivel ez minden háromszögre igaz, a kifejezés valójában felesleges pontosítás.
Van konkáv háromszög?
Nincs. Ha egy három szakaszból álló zárt vonalnál mégis behorpadást látsz, akkor vagy nem egyenes szakaszokból áll az alakzat, vagy a három pont közül valamelyik nem csúcs, hanem a másik három alkotta háromszög belsejében van.
A tompaszögű háromszög konvex?
Igen. A tompaszög 90° és 180° között van, tehát 180° alatt marad, és a háromszög konvex. A konvexitásnak semmi köze ahhoz, hogy hegyesszögű, derékszögű vagy tompaszögű a háromszög.
Melyik a legkisebb sokszög, amelyik lehet konkáv?
A négyszög. Egy nyílhegy alakú négyszögnél az egyik belső szög 180° fölé megy, például 216,87°, miközben a négy szög összege továbbra is 360°.