Nevezetes vonalak és pontok
A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra esik?
Tipikus igaz-hamis feladat. Megmutatjuk konkrét koordinátákkal, hogy miért hamis, és azt is, mely háromszögeknél teljesül mégis – meg hogy mi az az igaz állítás, amivel összekeverik.
Röviden a válasz
Az állítás hamis. Egy általános (nem egyenlő szárú és nem derékszögű) háromszögben a köré írható kör középpontja egyik súlyvonalra sem esik rá. A középpont az oldalfelező merőlegesek metszéspontja, a súlyvonalak pedig a súlypontban metszik egymást – ez általában két különböző pont.
Három esetben viszont igaz: egyenlő szárú háromszögben (az alaphoz tartozó súlyvonalra), szabályos háromszögben (mindháromra) és derékszögű háromszögben (a derékszög csúcsából induló súlyvonalra, méghozzá annak végpontjaként).
Miért gondolják sokan igaznak?
A félreértés forrása az, hogy a súlyvonal és az oldalfelező merőleges ugyanabból a pontból indul: mindkettő átmegy az oldal felezőpontján. Csakhogy a súlyvonal onnan a szemközti csúcs felé megy, az oldalfelező merőleges pedig merőlegesen az oldalra. A két egyenes csak akkor esik egybe, ha a szemközti csúcs éppen az oldal fölött, a felezőmerőlegesen van – vagyis ha a háromszög az adott oldalra nézve egyenlő szárú.
Ellenpélda: egy háromszög, ahol egyik súlyvonalra sem esik
A leggyorsabb cáfolat egy koordinátákkal megadott háromszög. Vegyük az A(0; 0), B(8; 0), C(2; 4) csúcsokat – ez sem egyenlő szárú, sem derékszögű nem lesz.
Kidolgozott példa · A(0; 0), B(8; 0), C(2; 4)
Hol van a köré írható kör középpontja, és rajta van-e valamelyik súlyvonalon?
- Az AB oldal felezőmerőlegese függőleges, és átmegy a (4; 0) ponton:x = 4
- Az AC oldal felezőpontja (1; 2), irányvektora (2; 4), így a felezőmerőlegese:2(x − 1) + 4(y − 2) = 0 → x + 2y = 5
- Az x = 4 behelyettesítésével:4 + 2y = 5 → y = 0,5
- A középpont tehát:O(4; 0,5)
- A C-ből induló súlyvonal az AB felezőpontjába, a (4; 0) pontba tart – az x = 4 egyenest tehát éppen ott éri el, 0,5 egységgel a középpont alatt.C(2; 4) → FAB(4; 0)
- Az A-ból induló súlyvonal a BC felezőpontjába, az (5; 2) pontba megy; egyenlete y = 0,4x, ezért az x = 4 helyen:y = 0,4 · 4 = 1,6
- A B-ből induló súlyvonal az AC felezőpontjába, az (1; 2) pontba megy; ennek az x = 4 helyen tartozó értéke:y = 87 = 1,14
EredményA középpont y koordinátája 0,5; a három súlyvonal ugyanott 0, 1,6 és 1,14 magasságban halad. Egyik sem megy át az O ponton, tehát az állítás hamis.
Mikor igaz mégis?
| Háromszög | Melyik súlyvonalra esik | Miért |
|---|---|---|
| Egyenlő szárú | Az alaphoz tartozó súlyvonalra | Az alap felezőmerőlegese egyben a szimmetriatengely, és az átmegy a szemközti csúcson is – tehát maga a súlyvonal egyenese. |
| Szabályos | Mindhárom súlyvonalra | Minden nevezetes vonal egybeesik, a középpont pedig a súlyponttal azonos. |
| Derékszögű | A derékszög csúcsából induló súlyvonalra | Ez a súlyvonal az átfogó felezőpontjában végződik, ami éppen a köré írható kör középpontja. |
Kidolgozott példa · Derékszögű eset: A(0; 0), B(9; 0), C(0; 12)
Hol van a középpont, és hogyan viszonyul a súlyvonalhoz?
- A derékszög az A csúcsnál van, az átfogó a BC szakasz. Hossza:BC = √92 + 122 = √225 = 15
- Thalész-tétel miatt a középpont az átfogó felezőpontja:O(4,5; 6), R = 152 = 7,5
- Az A-ból induló súlyvonal éppen a BC felezőpontjába megy, tehát a végpontja:FBC(4,5; 6) = O
EredményItt az állítás teljesül: a középpont a súlyvonal végpontja. De ez a derékszög miatt van így, nem általános szabály.
Mi az az igaz állítás, amivel összekeverik?
Létezik egy hasonlóan hangzó, de valóban igaz tétel: a köré írható kör O középpontja, az S súlypont és az M magasságpont mindig egy egyenesen van. Ezt hívjuk Euler-egyenesnek, és a súlypont osztja a szakaszt, méghozzá:
Az Euler-egyenes átmegy a súlyponton – de nem esik egybe egyik súlyvonallal sem (kivéve az egyenlő szárú esetet, ahol a szimmetriatengely mindkettő). Ha tehát a feladatban „mindig egy egyenesre esik" szerepel a súlypont és a középpont kapcsán, az igaz; ha „súlyvonalra esik", akkor hamis.
Gyors önellenőrzés
Igaz-e, hogy a köré írható kör középpontja mindig a súlypont?
Melyik nevezetes vonalakon van rajta biztosan a köré írható kör középpontja?
Egy egyenlő szárú háromszög alapja 10 cm. Melyik súlyvonalon lesz rajta a középpont?
Gyakori kérdések
Igaz vagy hamis: a háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra esik?
Hamis. Általános háromszögben egyik súlyvonalra sem esik. Ellenpélda: A(0; 0), B(8; 0), C(2; 4), ahol a középpont O(4; 0,5), a súlyvonalak pedig ettől a ponttól eltérnek.
Mikor esik mégis súlyvonalra a középpont?
Egyenlő szárú háromszögben az alaphoz tartozó súlyvonalra, szabályos háromszögben mindháromra, derékszögű háromszögben pedig a derékszög csúcsából induló súlyvonal végpontja maga a középpont.
Hol van a köré írható kör középpontja?
Az oldalfelező merőlegesek metszéspontjában. Ez a pont mindhárom csúcstól ugyanakkora, R távolságra van.
Mi a különbség a súlyvonal és az oldalfelező merőleges között?
Mindkettő átmegy egy oldal felezőpontján, de a súlyvonal onnan a szemközti csúcsba tart, az oldalfelező merőleges pedig merőlegesen áll az oldalra. Csak egyenlő szárú háromszögben esnek egybe.
Van-e olyan egyenes, amelyen a súlypont és a köré írható kör középpontja is rajta van?
Igen, az Euler-egyenes: rajta van a köré írható kör középpontja, a súlypont és a magasságpont is, méghozzá OS : SM = 1 : 2 arányban.