Nevezetes vonalak és pontok
A háromszög súlyvonala
Egy képlet, három tulajdonság, és egy táblázat a speciális háromszögekre – ennyi kell ahhoz, hogy bármelyik súlyvonalfeladatot megoldd.
Röviden a válasz
A háromszög súlyvonala az a szakasz, amely egy csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával köt össze. Minden háromszögnek három súlyvonala van: sa, sb és sc.
A hossza a három oldalból számolható: sa = 12 · √2 · b2 + 2 · c2 − a2. A három súlyvonal a súlypontban metszi egymást, amely mindegyiket a csúcs felől 2:1 arányban osztja.
Háromszög-kalkulátor a súlyvonalképlethez
A súlyvonal képletéhez mind a három oldal kell. Ha csak két oldalt és egy szöget ismersz, itt számold ki a hiányzót – a kiemelt terület pedig azért érdekes, mert a súlyvonal pontosan felezi.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mi pontosan a súlyvonal?
A súlyvonal a csúcsból indul, és a szemközti oldal felezőpontjába érkezik. Az index azt az oldalt jelöli, amelyet a súlyvonal felez: sa az a oldal felezőpontjába megy, tehát az A csúcsból indul.
Fontos, hogy a súlyvonal nem merőleges az oldalra (kivéve speciális eseteket), és nem is felezi a csúcsnál lévő szöget. Három különböző vonalról van szó: a magasság merőlegesen érkezik, a szögfelező a szöget vágja ketté, a súlyvonal pedig az oldalt.
A súlyvonal hossza a három oldalból
A képlet a koszinusztételből jön: a súlyvonal két olyan háromszöget hoz létre, amelyekben a felezéssel keletkező a2 szakasz mellett a két rész szöge egymás kiegészítő szöge, így a koszinuszos tagok kiejtik egymást. A mintázat könnyen megjegyezhető: a másik két oldal négyzetének kétszerese mínusz a felezett oldal négyzete, az egész gyök alatt, felezve.
Kidolgozott példa · a = 8 cm, b = 9 cm, c = 7 cm
Mekkora a 8 cm-es oldalhoz tartozó súlyvonal?
- Behelyettesítés a képletbe:sa = 12 · √2 · 92 + 2 · 72 − 82
- A gyök alatt:2 · 81 + 2 · 49 − 64 = 162 + 98 − 64 = 196
- A 196 pontos négyzetszám:sa = 12 · 14 = 7 cm
- Ugyanígy a másik kettő:sb = 6,02 cm, sc = 7,76 cm
Eredménysa = 7 cm
A súlyvonal három fontos tulajdonsága
- A súlyvonal felezi a háromszög területét: a két keletkező háromszögnek ugyanaz az alapja (a fél oldal) és ugyanaz a magassága, tehát a területük egyenlő.
- A három súlyvonal egy pontban, a súlypontban metszi egymást, és ez a pont mindegyiket a csúcstól számítva 2:1 arányban osztja.
- A súlyvonal mindig a háromszög belsejében halad, még tompaszögű háromszögben is – ellentétben a magassággal, amely ott kicsúszhat.
A 2:1 arány miatt, ha ismered a súlyvonalat, a súlypont távolsága a csúcstól 23 · s, az oldal felezőpontjától pedig 13 · s. Egy 15 cm-es súlyvonalnál ez 10 cm és 5 cm. Erről bővebben a háromszög súlypontja oldalon.
Súlyvonal speciális háromszögekben
| Háromszög | Súlyvonal | Megjegyzés |
|---|---|---|
| Szabályos | s = a · √32 | Mindhárom súlyvonal egyenlő, és egyben magasság és szögfelező is. |
| Egyenlő szárú (alaphoz) | s = √b2 − (a2)2 | Az alaphoz tartozó súlyvonal a szimmetriatengely, tehát magasság is. |
| Egyenlő szárú (szárhoz) | a képlet szerint | A szárakhoz tartozó súlyvonalak ferdék, nem magasságok. |
| Derékszögű (átfogóhoz) | sc = c2 | Az átfogó fele – lásd a derékszögű háromszög súlyvonala oldalt. |
Szabályos háromszögnél tehát a súlyvonal ugyanaz, mint a magasság: egy 8 cm oldalú szabályos háromszögben s = 8 · √32 = 6,93 cm. Ez az egyetlen háromszögtípus, ahol mind a három súlyvonal egyforma hosszú.
Ellenőrizd magad
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög oldalai 4 cm, 5 cm és 3 cm. Mekkora a 4 cm-es oldalhoz tartozó súlyvonal?
Egy súlyvonal 12 cm hosszú. Milyen messze van a súlypont a csúcstól?
Igaz-e, hogy a súlyvonal felezi a csúcsnál lévő szöget?
Gyakori kérdések
Mi a háromszög súlyvonala?
Az a szakasz, amely egy csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával köt össze. Minden háromszögnek három súlyvonala van, és ezek a súlypontban metszik egymást.
Hogyan számolom ki a súlyvonal hosszát?
A három oldalból: sa = 12 · √2 · b2 + 2 · c2 − a2. Például a 8–9–7 cm-es háromszögben a 8 cm-es oldalhoz tartozó súlyvonal pontosan 7 cm.
Mekkora a szabályos háromszög súlyvonala?
Ugyanakkora, mint a magassága: s = a · √32. Egy 8 cm oldalú szabályos háromszögben ez 6,93 cm, és mind a három súlyvonal ekkora.
Mekkora a derékszögű háromszög súlyvonala?
Az átfogóhoz tartozó súlyvonal az átfogó fele, a befogókhoz tartozókat pedig Pitagorasz-tétellel kapod meg. Ezt a derékszögű háromszög súlyvonala oldalon részletezzük.
Miért felezi a súlyvonal a területet?
Mert a két keletkező háromszög alapja egyenlő (a felezett oldal két fele), és a közös csúcsból ugyanaz a magasság tartozik hozzájuk. Egyenlő alap és egyenlő magasság egyenlő területet ad.