Nevezetes vonalak és pontok
Mekkora a háromszög köré írható kör sugara?
Két képlet elég hozzá: az oldalakból induló és a szögből induló. Itt mindkettőt megkapod, plusz a szabályos és a derékszögű háromszög rövidítéseit.
Röviden a válasz
A háromszög köré írható kör sugara R = a · b · c4 · T, ahol T a háromszög területe. Ha egy oldalt és a vele szemközti szöget ismered, gyorsabb a szinusztétel alakja: R = a2 · sin α.
Szabályos háromszögnél R = a · √33, derékszögű háromszögnél pedig R = c2, vagyis az átfogó fele – a kör középpontja ilyenkor épp az átfogó felezőpontja.
Köré írható kör sugara – kalkulátor
Add meg a három oldalt (vagy két oldalt és egy szöget), és megkapod az $R$ sugarat.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mi a köré írható kör, és miért van mindig?
A köré írható kör az a kör, amely a háromszög mindhárom csúcsán átmegy. Minden háromszögnek pontosan egy ilyen köre van – se több, se kevesebb.
Ennek az oka egyszerű: egy szakasz felezőmerőlegesén pontosan azok a pontok vannak, amelyek a szakasz két végpontjától egyenlő távol vannak. Ha megrajzolod az AB és a BC oldal felezőmerőlegesét, a metszéspontjuk egyszerre van egyforma messze A-tól, B-től és C-től. Ez a pont a köré írható kör középpontja (jele K vagy O), a közös távolság pedig a sugár, R.
A köré írható kör sugarának képlete
Attól függ, melyiket használd, hogy mit tudsz a háromszögről. Ez a négy alak minden feladatot lefed:
A második képlet nem más, mint a szinusztétel teljes alakja: asin α = bsin β = csin γ = 2R. Vagyis bármelyik oldalt osztod a vele szemközti szög szinuszával, ugyanazt a 2R számot kapod. Ez a leggyorsabb út, ha a feladat egy oldalt és egy szöget ad meg.
Az első képlethez kell a terület. Ha csak az oldalak ismertek, a T-t Héron-képlettel számold ki: s = a + b + c2, majd T = √s(s-a)(s-b)(s-c). Erről részletesen a háromszög területe oldalakból oldalon írunk.
Példa: R kiszámítása három oldalból
Kidolgozott példa · a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm
Mekkora a háromszög köré írható kör sugara?
- Félkerület:s = 13 + 14 + 152 = 21 cm
- Terület Héron-képlettel:T = √21 · (21-13) · (21-14) · (21-15) = √21 · 8 · 7 · 6
- A gyök alatt 7056 áll, ami pontos négyzetszám:T = 84 cm2
- Innen a sugár:R = 13 · 14 · 154 · 84 = 2730336
- Elosztva:R = 8,125 cm
EredményR = 8,125 cm
Szabályos háromszög köré írható kör sugara
Szabályos (egyenlő oldalú) háromszögben a köré írható kör középpontja egybeesik a súlyponttal és a magasságponttal is – minden nevezetes pont ugyanoda esik. A sugár a magasság kétharmada, mert a súlypont harmadolja a súlyvonalat.
Kidolgozott példa · Szabályos háromszög, a = 6 cm
Mekkora a köré írható kör sugara?
- A magasság:m = 6 · √32 = 5,196 cm
- A sugár a magasság kétharmada:R = 23 · 5,196 = 3,464 cm
- Közvetlenül is megkapod:R = 6 · √33 = 2 · √3 = 3,46 cm
EredményR = 3,46 cm
Derékszögű háromszög köré írható kör sugara
Itt nem kell számolni: a sugár az átfogó fele. A Thalész-tétel megfordítása szerint ugyanis, ha egy háromszögnek derékszöge van, akkor a derékszög csúcsa rajta van az átfogó fölé rajzolt Thalész-körön. Ennek a körnek a középpontja az átfogó felezőpontja, sugara pedig c2.
Kidolgozott példa · Derékszögű háromszög: befogók 8 cm és 15 cm
Mekkora a köré írható kör sugara?
- Előbb az átfogó Pitagorasz-tétellel:c = √82 + 152 = √64 + 225 = √289
- Vagyis:c = 17 cm
- A sugár az átfogó fele:R = 172 = 8,5 cm
EredményR = 8,5 cm
Ez egyben azt is jelenti, hogy derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó súlyvonal ugyanakkora, mint a köré írható kör sugara – mindkettő az átfogó felezőpontjába mutat. Erről bővebben a derékszögű háromszög súlyvonala oldalon olvashatsz.
Hol van a középpont? Háromszögtípusonként
| Háromszög | A középpont helye | Sugár |
|---|---|---|
| Hegyesszögű | a háromszög belsejében | R = a · b · c4 · T |
| Derékszögű | az átfogó felezőpontjában (az oldalon) | R = c2 |
| Tompaszögű | a háromszögön kívül, a tompaszöggel szemközti oldal túloldalán | R = a · b · c4 · T |
| Szabályos | a súlypontban | R = a · √33 |
A sugár képlete tehát mindig ugyanaz, csak a középpont vándorol. Tompaszögű háromszögben a kör „körbeöleli" a háromszöget, de a középpontja kívülre esik – a rajz emiatt szokatlanul néz ki, a számolás viszont változatlan.
Ellenőrizd magad
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög befogói 9 cm és 12 cm. Mekkora a köré írható kör sugara?
Egy háromszög egyik oldala 10 cm, a vele szemközti szög 30°. Mekkora R?
Lehet-e a köré írható kör középpontja pontosan a háromszög egyik oldalán?
Mekkora egy 12 cm oldalú szabályos háromszög köré írható kör sugara?
Gyakori kérdések
Mi a háromszög köré írható kör sugarának képlete?
A legáltalánosabb alak R = a · b · c4 · T, ahol T a terület. Ha egy oldalt és a vele szemközti szöget ismered, a szinusztételből R = a2 · sin α is elég.
Hogyan számolom ki a szabályos háromszög köré írható kör sugarát?
Az oldalból közvetlenül: R = a · √33. Ez a magasság kétharmada, mert a középpont egybeesik a súlyponttal, az pedig harmadolja a súlyvonalat. Egy 6 cm oldalú háromszögnél R = 3,46 cm.
Mekkora a derékszögű háromszög köré írható kör sugara?
Pontosan az átfogó fele: R = c2. A kör középpontja az átfogó felezőpontja, maga a kör pedig a Thalész-kör. Ha az átfogó 17 cm, a sugár 8,5 cm.
Hol van a köré írható kör középpontja?
Az oldalfelező merőlegesek metszéspontjában. Hegyesszögű háromszögben ez belül van, derékszögűben az átfogó felezőpontjában, tompaszögűben pedig a háromszögön kívül.
Mi a különbség R és r között?
Az R a köré írható kör sugara (a kör átmegy a csúcsokon), az r pedig a beírt köré (a kör érinti az oldalakat). Az r a területből és a félkerületből jön: r = Ts, és mindig kisebb, mint R.
Kell-e a terület a sugár kiszámításához?
Csak az R = a · b · c4 · T képlethez. Ha van egy oldal–szög párod, a szinusztétellel terület nélkül is célba érsz, és kevesebb a kerekítési hiba.