Nevezetes vonalak és pontok
A háromszög köré írható kör középpontja
Ez az oldal nem a sugárról, hanem a pontról szól: miért éppen ott van, hova esik a különböző háromszögtípusokban, és hogyan kapod meg szerkesztéssel vagy koordinátákból.
Röviden a válasz
A háromszög köré írható kör középpontja a három oldalfelező merőleges metszéspontja. Szokásos jele O (néha K), és mindhárom csúcstól ugyanakkora – éppen R – távolságra van.
Hegyesszögű háromszögben a háromszögön belül van, derékszögűben az átfogó felezőpontjában, tompaszögűben pedig a háromszögön kívül.
Miért az oldalfelező merőlegesek metszéspontja?
Az egész gondolat egyetlen tényen áll: egy szakasz felezőmerőlegesének minden pontja egyenlő távol van a szakasz két végpontjától. Ez oda-vissza igaz, tehát ha egy pont egyenlő távol van két ponttól, akkor rajta van a felezőmerőlegesükön.
- Az AB oldal felezőmerőlegesén lévő pontok egyenlő távol vannak A-tól és B-től.
- A BC oldal felezőmerőlegesén lévő pontok egyenlő távol vannak B-től és C-től.
- A két egyenes metszéspontja tehát mindhárom csúcstól ugyanolyan távol van – így rajta van a harmadik felezőmerőlegesen is.
- Ez a közös távolság a köré írható kör sugara, R. A pont körül R sugárral rajzolt kör átmegy A-n, B-n és C-n.
Belül, kívül vagy az oldalon?
A középpont helye csak a háromszög legnagyobb szögétől függ. Ez a három eset van, más nincs:
| Háromszög | Hol van O | Miért |
|---|---|---|
| Hegyesszögű | A háromszög belsejében. | Minden oldal a középpont felé eső oldalon látszik. |
| Derékszögű | Az átfogó felezőpontjában. | Thalész-tétel: az átfogó a kör átmérője. |
| Tompaszögű | A háromszögön kívül, a leghosszabb oldal túloldalán. | A tompaszöggel szemközti oldal „túl hosszú” húr. |
A középpont megszerkesztése
Három lépés körzővel és vonalzóval
- Felezd meg az egyik oldaltAz AB oldal két végpontja köré rajzolj azonos, az oldal felénél nagyobb sugarú köríveket. A két metszéspontjukat összekötve megkapod a felezőmerőlegest.
- Ismételd meg egy másik oldalonUgyanígy szerkeszd meg a BC oldal felezőmerőlegesét. A harmadikra nincs szükség: az úgyis átmegy a metszésponton.
- Rajzold meg a körtA két egyenes metszéspontja az O középpont. Nyisd a körzőt O-tól bármelyik csúcsig, és húzd meg a kört – mindhárom csúcson át kell mennie. Ez egyben az ellenőrzés is.
A középpont koordinátái
Koordinátageometriában ugyanez a recept: felírod két oldal felezőmerőlegesének egyenletét, és megoldod a kétismeretlenes egyenletrendszert.
Kidolgozott példa · A(0; 0), B(8; 0), C(0; 6)
Hol van a köré írható kör középpontja, és mekkora a sugár?
- Az AB oldal vízszintes, felezőpontja (4; 0), így a felezőmerőlegese függőleges:x = 4
- Az AC oldal függőleges, felezőpontja (0; 3), így a felezőmerőlegese vízszintes:y = 3
- A két egyenes metszéspontja:O(4; 3)
- A sugár az O és A távolsága:R = √42 + 32 = √25 = 5
- Ellenőrzés a B csúccsal:√(8-4)2 + (0-3)2 = √16 + 9 = 5
EredményA középpont O(4; 3), a sugár R = 5 egység.
A háromszög derékszögű (A-nál van a derékszög), ezért az eredménynek a BC átfogó felezőpontjának kell lennie: (8+02; 0+62) = (4; 3). Stimmel. A kör egyenletének felírásáról a háromszög köré írható kör egyenlete oldalon van több.
Gyors önellenőrzés
Melyik nevezetes vonalak metszéspontja a köré írható kör középpontja?
Egy derékszögű háromszög átfogója 12 cm. Milyen messze van a középpont a derékszög csúcsától?
Egybeeshet-e a köré írható kör középpontja a súlyponttal?
A sugár kiszámolásához nézd meg a köré írható kör sugarának kiszámítása oldalt, a másik nevezetes kör középpontjáról pedig a háromszög beírt köre oldalon írunk.
Gyakori kérdések
Hol van a háromszög köré írható kör középpontja?
A három oldalfelező merőleges metszéspontjában. Ez a pont mindhárom csúcstól ugyanakkora, R nagyságú távolságra van.
Miért esik tompaszögű háromszögben a középpont a háromszögön kívülre?
Mert a tompaszöggel szemközti oldal olyan hosszú húr, amelyhez a középpont a háromszöggel ellentétes oldalra kerül. A kör ettől még ugyanúgy átmegy mind a három csúcson.
Hol van derékszögű háromszögben a középpont?
Pontosan az átfogó felezőpontjában, mert a Thalész-tétel szerint az átfogó a köré írható kör átmérője. Ezért a sugár az átfogó fele.
Hogyan szerkesztem meg a középpontot?
Szerkeszd meg két oldal felezőmerőlegesét körzővel: az oldal végpontjai köré azonos sugarú íveket rajzolsz, a két metszéspontjukat összekötöd. A két felezőmerőleges metszéspontja a középpont.
Hogyan számolom ki a középpont koordinátáit?
Írd fel két oldal felezőmerőlegesének egyenletét – mindegyik átmegy az oldal felezőpontján, és merőleges az oldalra –, majd oldd meg a két egyenletből álló rendszert.