Nevezetes vonalak és pontok
A háromszög súlypontja
Egyetlen pont, három tulajdonsággal: harmadolja a súlyvonalakat, a csúcsok koordinátáinak átlaga, és fizikailag is itt egyensúlyoz ki a háromszög.
Röviden a válasz
A háromszög súlypontja a három súlyvonal metszéspontja, jele S. Mindig a háromszög belsejében van – akkor is, ha a háromszög tompaszögű.
A súlypont a súlyvonalakat a csúcs felől 2:1 arányban osztja, koordinátái pedig a három csúcs koordinátáinak átlaga: S = (xA + xB + xC3; yA + yB + yC3).
Hol van a súlypont?
Rajzold meg mindhárom súlyvonalat – vagyis kösd össze minden csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával. A három szakasz egyetlen pontban metszi egymást: ez a súlypont.
Ez a pont mindig belül van, bármilyen alakú a háromszög. Ebben különbözik a magasságponttól és a köré írható kör középpontjától, amelyek tompaszögű háromszögben kívülre esnek. A háromszög nevezetes vonalai oldalon mind a négy nevezetes pontot összehasonlítjuk.
A 2:1 arány – a súlypont harmadol
A súlypont nem középen van a súlyvonalon, hanem kétszer olyan messze a csúcstól, mint az oldal felezőpontjától. Vagyis a súlyvonalat 2:1 arányban osztja, a csúcs felől nézve.
Egy 18 cm-es súlyvonalnál tehát a csúcstól 12 cm-re, az oldal felezőpontjától 6 cm-re van a súlypont. Miért igaz ez? Mert két oldalfelező pontot összekötve középvonalat kapsz, ami párhuzamos a harmadik oldallal, és feleakkora. A középvonal és az oldal által meghatározott két háromszög hasonló, a hasonlóság aránya 2:1 – ez öröklődik a súlyvonalak metszéspontjára is.
A súlypont koordinátái
Kidolgozott példa · A(1; 2), B(7; 1), C(4; 9)
Hol van a háromszög súlypontja?
- Az x koordináták átlaga:xS = 1 + 7 + 43 = 123 = 4
- Az y koordináták átlaga:yS = 2 + 1 + 93 = 123 = 4
- Ellenőrzés a B-ből induló súlyvonalon: a CA oldal felezőpontjaF = (4 + 12; 9 + 22) = (2,5; 5,5)
- A B(7; 1)-től F felé a kétharmad pont:(7 + 23 · (2,5 − 7); 1 + 23 · (5,5 − 1)) = (4; 4)
EredményS(4; 4)
Ha a súlyvonalak egyenletére is szükséged van, azt a súlyvonal egyenlete oldalon számoljuk végig lépésről lépésre.
Miért „súly"-pont?
Ha kivágod a háromszöget kartonból, és a súlypontjában megtámasztod egy ceruzahegyen, a lap vízszintesen egyensúlyban marad. Ez a pont a homogén háromszöglap tömegközéppontja – innen a név.
Szerkesztés és speciális esetek
A súlypont megszerkesztése
- Szerkeszd meg az egyik oldal felezőpontját (felezőmerőlegessel vagy körzővel).
- Kösd össze a szemközti csúccsal – ez az első súlyvonal.
- Ismételd meg egy másik oldallal, és rajzold meg a második súlyvonalat.
- A két súlyvonal metszéspontja a súlypont. A harmadik súlyvonal ellenőrzésre jó: annak is át kell mennie ezen a ponton.
| Háromszög | A súlypont helye |
|---|---|
| Szabályos | Egybeesik a magasságponttal, a beírt és a köré írható kör középpontjával is. |
| Egyenlő szárú | A szimmetriatengelyen, az alaptól a magasság harmadánál. |
| Derékszögű | A derékszög csúcsától a befogók mentén azok harmadánál – lásd a derékszögű háromszög súlypontja oldalt. |
| Tompaszögű | A háromszög belsejében, ahogy minden más esetben is. |
Ellenőrizd magad
Gyors önellenőrzés
Egy súlyvonal 21 cm hosszú. Milyen messze van a súlypont az oldal felezőpontjától?
A háromszög csúcsai A(0; 3), B(6; 0), C(3; 6). Hol van a súlypont?
Lehet-e a súlypont a háromszögön kívül?
A súlypont és a magasságpont ugyanaz a pont?
Gyakori kérdések
Mi a háromszög súlypontja?
A három súlyvonal metszéspontja. Fizikailag a háromszöglap tömegközéppontja: ha ebben a pontban megtámasztod, a lap egyensúlyban marad.
Milyen arányban osztja a súlypont a súlyvonalat?
2:1 arányban, a csúcs felől számítva. A csúcstól a súlyvonal kétharmadára, az oldal felezőpontjától az egyharmadára van.
Hogyan számolom ki a súlypont koordinátáit?
A csúcsok koordinátáinak átlagával: S = (xA + xB + xC3; yA + yB + yC3). Például az A(1; 2), B(7; 1), C(4; 9) csúcsokhoz S(4; 4) tartozik.
Hol van a szabályos háromszög súlypontja?
A középpontban, ahol a magasságpont, a beírt kör és a köré írható kör középpontja is van. Az oldaltól a magasság harmadára, a csúcstól a kétharmadára esik.
Hol van a derékszögű háromszög súlypontja?
A háromszög belsejében: a derékszög csúcsától a befogók irányában azok harmadánál. Az átfogóhoz tartozó súlyvonalon is rajta van, annak kétharmadánál.