Nevezetes vonalak és pontok
A háromszög köré írható kör
A köré írható kör mindhárom csúcson átmegy. Itt az szerepel, miért létezik mindig, hol helyezkedik el a középpontja a háromszög típusa szerint, és mi a sugár két alapképlete.
Röviden a válasz
A háromszög köré írható kör az a kör, amely mindhárom csúcson átmegy. Minden háromszöghöz pontosan egy ilyen kör tartozik, középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja, sugarát R-rel jelöljük.
A sugár két képletből számolható: R = a2 · sin α (szinusztétel) vagy R = a · b · c4 · T, ha a három oldal ismert. Derékszögű háromszögben a legegyszerűbb: R = c2, vagyis az átfogó fele.
Köré írható kör kalkulátor
Add meg a három oldalt (vagy két oldalt és egy szöget) – a kiemelt $R$ a köré írható kör sugara. A beírt kör $r$ sugara is megjelenik alatta.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Mi a köré írható kör?
A háromszög köré írható köre (más néven körülírt köre) az a kör, amelynek a kerületén ott van mind a három csúcs. A háromszög tehát „beleillik" a körbe, a csúcsai pedig a körvonalra esnek. A kör középpontját szokás O-val, sugarát R-rel jelölni.
Miért van minden háromszögnek köré írható köre?
A válasz az oldalfelező merőlegesekben van. Egy szakasz felezőmerőlegesének minden pontja egyenlő távolságra van a szakasz két végpontjától – ez a felezőmerőleges definiáló tulajdonsága.
- Az AB oldal felezőmerőlegesén lévő pontok egyenlő távol vannak A-tól és B-től.
- A BC oldal felezőmerőlegesén lévő pontok egyenlő távol vannak B-től és C-től.
- A két egyenes metszéspontja tehát mindhárom csúcstól ugyanakkora távolságra van – ez a távolság az R sugár, a metszéspont pedig a köré írható kör középpontja.
A gyakorlatban ezért elég két oldalfelező merőlegest megszerkeszteni – a harmadik automatikusan átmegy a metszéspontjukon. A háromszög köré írható kör középpontja oldalon részletesen is végigmegyünk ezen.
Hol van a középpont?
A középpont helye a háromszög legnagyobb szögétől függ. Ez a szerkesztésnél is fontos: ne lepődj meg, ha a körző hegye kikerül a háromszögből.
| Háromszög | A középpont helye | Miért |
|---|---|---|
| Hegyesszögű | A háromszög belsejében | Mindhárom szög 90°-nál kisebb, mindegyik oldal a középpont ugyanazon oldalára esik. |
| Derékszögű | Pontosan az átfogó felezőpontjában | Thalész-tétel: az átfogó a kör átmérője, így R = c2. |
| Tompaszögű | A háromszögön kívül, a leghosszabb oldal túloldalán | A tompaszöggel szemközti oldal a kör olyan húrja, amelynek a rövidebb ívén van a csúcs. |
| Szabályos | A súlyponttal egybeesik | Minden nevezetes pont egy helyre kerül, és R = a · √33. |
A tompaszögű eset kifejtését, a középpont pontos helyzetével együtt a tompaszögű háromszög köré írható kör oldalon találod; a derékszögű esetről a derékszögű háromszög köré írható kör sugara oldal szól.
A sugár kiszámítása
Két képlet fedi le a feladatok gyakorlatilag összes esetét. Az első a szinusztételből jön, a második három oldalból dolgozik.
Kidolgozott példa · a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm
Mekkora a köré írható kör sugara, ha csak az oldalak ismertek?
- Félkerület:s = 13 + 14 + 152 = 21 cm
- Terület Héron-képlettel:T = √21 · 8 · 7 · 6 = √7056 = 84 cm2
- A sugár képlete:R = 13 · 14 · 154 · 84 = 2730336
- Elosztva:R = 8,125 cm
EredményR = 8,125 cm – a kör átmérője tehát 16,25 cm, ami valóban nagyobb a leghosszabb oldalnál.
Kidolgozott példa · a = 10 cm, α = 30°
Mekkora a köré írható kör sugara, ha egy oldalt és a vele szemközti szöget ismerjük?
- A szinusztétel átrendezett alakja:R = a2 · sin α
- Behelyettesítve (sin 30° = 0,5):R = 102 · 0,5 = 101
- Vagyis:R = 10 cm
EredményR = 10 cm. A háromszög többi adata nem is kell hozzá – egy oldal és a vele szemközti szög egyértelműen meghatározza a kört.
Gyakori kérdések számolás közben
- A sugár mindig nagyobb, mint a leghosszabb oldal fele – egyenlőség csak derékszögű háromszögnél van.
- Ha a T területet Héron-képlettel számolod, ne kerekíts közben: a √7056 = 84 típusú szép értékek gyakran pontosan kijönnek.
- Ha koordinátákkal dolgozol, a kör egyenletét a felezőmerőlegesekből kapod meg – lásd a köré írható kör egyenlete oldalt.
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög befogói 9 cm és 12 cm. Mekkora a köré írható kör sugara?
Lehet-e a köré írható kör középpontja a háromszög egyik oldalán?
Egy háromszögben b = 8 cm és β = 90°. Mekkora R?
Gyakori kérdések
Mi a háromszög köré írható kör?
Az a kör, amelynek a kerületén mindhárom csúcs rajta van. Minden háromszöghöz pontosan egy ilyen kör tartozik, középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja.
Hol van a köré írható kör középpontja?
Hegyesszögű háromszögben belül, derékszögűben az átfogó felezőpontjában, tompaszögűben pedig a háromszögön kívül, a leghosszabb oldal túloldalán.
Hogyan számolom ki a köré írható kör sugarát?
Ha egy oldalt és a vele szemközti szöget ismered, R = a2 · sin α. Ha mindhárom oldalt, akkor R = a · b · c4 · T, ahol T a terület. Például a 13-14-15 cm-es háromszögben R = 8,125 cm.
Mekkora a köré írható kör sugara derékszögű háromszögben?
Az átfogó fele: R = c2. Ez a Thalész-tétel következménye, hiszen az átfogó a kör átmérője.
Van-e minden háromszögnek köré írható köre?
Igen, kivétel nélkül mindegyiknek, és pontosan egy. Ez azért van, mert a három oldalfelező merőleges mindig egy pontban metszi egymást.
Mi a különbség a köré írható és a beírt kör között?
A köré írható kör a csúcsokon megy át, és a szerkesztéséhez oldalfelező merőlegesek kellenek. A beírt kör az oldalakat érinti belülről, középpontja a szögfelezők metszéspontja.