Nevezetes vonalak és pontok
A háromszög nevezetes vonalai és pontjai
A négy vonalcsalád mindegyike egyetlen pontban metszi egymást – és pont ez a négy pont az, amit a feladatok kérdeznek. Itt egymás mellett látod őket, hogy ne keveredjenek össze.
Röviden a válasz
A háromszög négy nevezetes vonala a magasságvonal, a súlyvonal, a szögfelező és az oldalfelező merőleges. Mindegyikből három van, és mindegyik hármas egyetlen pontban metszi egymást.
Az így kapott négy nevezetes pont: a magasságpont (M), a súlypont (S), a beírt kör középpontja és a köré írható kör középpontja (O). Ötödikként szokás említeni a középvonalat, de az nem tartozik nevezetes ponthoz.
Melyik vonal melyik pontot adja?
| Vonal | Mit köt össze | A metszéspont neve |
|---|---|---|
| Magasságvonal | Csúcs → szemközti oldal egyenese, merőlegesen. | Magasságpont (M) |
| Súlyvonal | Csúcs → szemközti oldal felezőpontja. | Súlypont (S) |
| Szögfelező | A belső szöget felezi, csúcsból indul. | A beírt kör középpontja |
| Oldalfelező merőleges | Az oldal felezőpontjában merőleges rá. | A köré írható kör középpontja (O) |
| Középvonal | Két oldal felezőpontját köti össze. | Nincs ilyen közös pont |
Hol helyezkednek el a nevezetes pontok?
A négy pont közül kettő mindig a háromszög belsejében van, kettő viszont kivándorolhat. Ez a legjobb ellenőrzés egy szerkesztés vagy egy koordinátás számolás végén:
| Pont | Hegyesszögű | Derékszögű | Tompaszögű |
|---|---|---|---|
| Súlypont | belül | belül | belül |
| Beírt kör középpontja | belül | belül | belül |
| Magasságpont | belül | a derékszög csúcsa | kívül |
| Köré írható kör középpontja | belül | az átfogó felezőpontja | kívül |
Mikor esnek egybe a vonalak?
Általános háromszögben a négy vonal négy különböző irányba fut ugyanabból a csúcsból. Két esetben viszont egybeolvadnak:
- Egyenlő szárú háromszögben az alaphoz tartozó magasságvonal, súlyvonal, szögfelező és oldalfelező merőleges ugyanaz az egyenes: a szimmetriatengely. A szárakhoz tartozó vonalak viszont továbbra is különböznek.
- Szabályos háromszögben mindhárom csúcsnál egybeesnek, ezért a négy nevezetes pont is egyetlen pont – a középpont.
Kidolgozott példa · Egyenlő szárú háromszög: alap 16 cm, szárak 10 cm
Hol van a súlypont és a köré írható kör középpontja a szimmetriatengelyen?
- Az alaphoz tartozó magasság Pitagorasz-tétellel:m = √102 − 82 = √36 = 6 cm
- A súlypont a magasság harmadánál van az alaptól:S = 63 = 2 cm-re az alap fölött
- A terület és a köré írható kör sugara:T = 16 · 62 = 48 cm2, R = 16 · 10 · 104 · 48 = 8,33 cm
- Mivel R > m, a középpont az alap alá kerül – a háromszög tompaszögű:8,33 − 6 = 2,33 cm-re az alap alatt
- A beírt kör középpontja a félkerületből:r = 4818 = 2,67 cm-re az alap fölött
EredményMind a három pont a szimmetriatengelyen van, de más magasságban: a köré írható kör középpontja 2,33 cm-rel az alap alatt, a súlypont 2 cm-rel, a beírt köré 2,67 cm-rel fölötte.
Az Euler-egyenes
Van egy meglepő összefüggés: a magasságpont, a súlypont és a köré írható kör középpontja minden háromszögben egy egyenesre esik. Ezt hívjuk Euler-egyenesnek.
A beírt kör középpontja általában nincs rajta ezen az egyenesen – csak egyenlő szárú háromszögben, ahol a szimmetriatengely mindent magába gyűjt. Szabályos háromszögben pedig az Euler-egyenes elfajul, mert mind a három pont egybeesik.
Gyors önellenőrzés
Melyik két vonal megy át az oldal felezőpontján?
Hol van a derékszögű háromszög magasságpontja?
Melyik nevezetes pont van mindig a háromszög belsejében?
Melyik nevezetes vonalhoz nem tartozik nevezetes pont?
Gyakori kérdések
Melyek a háromszög nevezetes vonalai?
A magasságvonal, a súlyvonal, a szögfelező és az oldalfelező merőleges. Mindegyikből három van, és mindegyik hármas egyetlen pontban metszi egymást. Ötödikként a középvonalat szokás ideszámítani.
Melyek a háromszög nevezetes pontjai?
A magasságpont (a magasságvonalak metszéspontja), a súlypont (a súlyvonalaké), a beírt kör középpontja (a szögfelezőké) és a köré írható kör középpontja (az oldalfelező merőlegeseké).
Mi a különbség a magasságvonal és az oldalfelező merőleges között?
Mindkettő merőleges egy oldalra, de a magasságvonal a szemközti csúcson megy át, az oldalfelező merőleges pedig az oldal felezőpontján. Csak akkor esnek egybe, ha a háromszög arra az oldalra szimmetrikus.
Mikor esik egybe a négy nevezetes pont?
Csak szabályos háromszögben. Egyenlő szárúban mindannyian a szimmetriatengelyre esnek, de más-más helyre; általános háromszögben pedig négy különböző pontról van szó.
Mi az Euler-egyenes?
Az az egyenes, amelyre minden háromszögben illeszkedik a magasságpont, a súlypont és a köré írható kör középpontja. A súlypont 2 : 1 arányban osztja a másik két pont közötti szakaszt.