A háromszög szögfelezői – metszéspont, beírt kör

Q: Hogyan számolom ki a beírt kör sugarát a szögfelezők metszéspontjából?

A metszéspont oldaltól mért távolsága maga a sugár: r = (T)/(s), ahol T a terület, s pedig a félkerület. Például T = 48 cm² és s = 16 cm esetén r = 3 cm.

Q: Mekkora szög keletkezik a szögfelezők metszéspontjánál?

A B és C csúcs felőli szög 90° + (α)/(2), és a másik kettő is hasonlóan számolható. Mindhárom szög tompaszög, összegük 360°.

Hol találkoznak a szögfelezők?

Add meg a három oldalt: a kiemelt $r$ érték a metszéspont távolsága mindhárom oldaltól, vagyis a beírt kör sugara.

azonnal számol

Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.

Példa:

a oldal: –
b oldal: –
c oldal: –
Felszín: –
β szög: –
γ szög: –
Terület: –
Kerület: –
m_a magasság: –
m_b magasság: –
m_c magasság: –
Köré írt kör sugara R: –
Beírt kör sugara r: –

Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

Miért metszi egymást a három szögfelező egy pontban?

Egy szögfelező pontjai pontosan azok, amelyek a szög két szárától egyenlő távolságra vannak. Ebből az egyetlen tulajdonságból következik a metszéspont léte, és a gondolatmenet két lépésből áll:

Az A és a B csúcs szögfelezője biztosan metszi egymást (nem lehetnek párhuzamosak, mert a két szögfelező a háromszög belseje felé indul). Legyen a metszéspont K.
Mivel K rajta van az A szögfelezőjén, egyenlő távol van a b és a c oldaltól. Mivel a B szögfelezőjén is rajta van, egyenlő távol van a c és az a oldaltól. Így a b és az a oldaltól is egyenlő távol van – tehát rajta van a C csúcs szögfelezőjén is.

A három szögfelező metszéspontja mindhárom oldaltól r távolságra van, ezért köré kör írható, amely érinti az oldalakat.

A metszéspont a beírt kör középpontja

Ha egy pont mindhárom oldaltól ugyanakkora, r távolságra van, akkor az r sugarú kör köré rajzolva mindhárom oldalt érinti – ez a beírt kör. A sugarat legegyszerűbben a területből kapod meg:

A beírt kör sugarar = Ts, ahol s = a + b + c2

Ebből a terület is felírhatóT = r · s

Kidolgozott példa · Egyenlő szárú háromszög: alap 12 cm, szárak 10 cm

Milyen messze van a szögfelezők metszéspontja az oldalaktól?

Az alaphoz tartozó magasság Pitagorasz-tétellel:m = √10² − 6² = √64 = 8 cm
A terület:T = 12 · 82 = 48 cm²
A félkerület:s = 12 + 10 + 102 = 16 cm
A metszéspont távolsága az oldalaktól:r = 4816 = 3 cm

EredményA három szögfelező az alaptól és mindkét szártól 3 cm-re lévő pontban találkozik.

Mekkorák a szögek a metszéspontnál?

Ez tipikus érettségi részkérdés. A K metszéspontnál három szög találkozik, és mindegyik egyszerűen kiszámolható a háromszög szögeiből. A BKC szög például a BKC háromszögből adódik, amelyben a másik két szög a β és a γ fele:

A B és C csúcs felőli szögBKC∠ = 180° − β2 − γ2 = 90° + α2

Kidolgozott példa · α = 50°, β = 60°, γ = 70°

Mekkorák a szögfelezők metszéspontjánál keletkező szögek?

A B és C felőli szög:BKC∠ = 90° + 50°2 = 115°
Az A és C felőli szög:AKC∠ = 90° + 60°2 = 120°
Az A és B felőli szög:AKB∠ = 90° + 70°2 = 125°
Ellenőrzés – a három szög teljes fordulatot ad ki:115° + 120° + 125° = 360°

EredményA metszéspontnál 115°, 120° és 125° keletkezik.

A képletből az is látszik, hogy ez a három szög mindig tompaszög: a legkisebb lehetséges értéke is 90° fölött van, hiszen α > 0. Ha valamelyik számolásod 90°-nál kisebbet ad, elszámoltál valamit.

A külső szögfelezők

Minden csúcsnál felezhető a külső szög is. A belső és a külső szögfelező egy csúcsnál mindig merőleges egymásra, hiszen a belső és a külső szög összege 180°, ennek a fele pedig 90°.

A külső szögfelezőknek is van metszéspontjuk: két külső és egy belső szögfelező mindig egy pontban találkozik, és ez a pont egy hozzáírt kör középpontja. Ez a kör az egyik oldalt kívülről érinti, a másik két oldal meghosszabbítását pedig szintén. Egy háromszöghöz így három hozzáírt kör tartozik.

Gyors önellenőrzés

Egy háromszög szögei 40°, 60° és 80°. Mekkora a szögfelezők metszéspontjánál a 40°-os csúccsal szemközti szög?

90° + 40°2 = 110°.

Lehet-e a szögfelezők metszéspontja a háromszögön kívül?

Nem. Mindhárom szögfelező a háromszög belseje felé indul, így a metszéspont mindig belül van – ezért létezik minden háromszögnek beírt köre.

Egy háromszög területe 30 cm², kerülete 20 cm. Mekkora a beírt kör sugara?

A félkerület s = 10 cm, így r = 3010 = 3 cm.

Gyakori kérdések

Hol metszik egymást a háromszög szögfelezői?

Egyetlen pontban, amely mindhárom oldaltól ugyanakkora távolságra van. Ez a pont a beírt kör középpontja, és mindig a háromszög belsejében található.

Miért éppen egy pontban metszik egymást?

Mert a szögfelező pontjai egyenlő távol vannak a szög száraitól. Két szögfelező metszéspontja így mindhárom oldaltól egyenlő távol van, tehát rajta van a harmadik szögfelezőn is.

Hogyan számolom ki a beírt kör sugarát a szögfelezők metszéspontjából?

A metszéspont oldaltól mért távolsága maga a sugár: r = Ts, ahol T a terület, s pedig a félkerület. Például T = 48 cm² és s = 16 cm esetén r = 3 cm.

Mekkora szög keletkezik a szögfelezők metszéspontjánál?

A B és C csúcs felőli szög 90° + α2, és a másik kettő is hasonlóan számolható. Mindhárom szög tompaszög, összegük 360°.

Mire jók a külső szögfelezők?

Két külső és egy belső szögfelező metszéspontja egy hozzáírt kör középpontja. Minden háromszöghöz három ilyen kör tartozik, és mindegyik az egyik oldalt kívülről érinti.