Nevezetes vonalak és pontok
A háromszög középvonala
Egyetlen tételen múlik minden középvonalas feladat: párhuzamos a harmadik oldallal, és fele akkora. Ebből következik a kerület fele és a terület negyede is.
Röviden a válasz
A háromszög középvonala két oldal felezőpontját összekötő szakasz. A középvonal-tétel szerint párhuzamos a harmadik oldallal, és annak a felével egyenlő hosszú.
Minden háromszögnek három középvonala van. Ha az egyik oldal a = 12 cm, akkor a vele párhuzamos középvonal 6 cm – a kiszámítás mindig ennyi: felezés.
A középvonal-tétel
Kösd össze a b és a c oldal felezőpontját. Az így kapott szakasz a b és c oldalhoz tartozó középvonal, és két dolog igaz rá egyszerre:
- Párhuzamos a harmadik oldallal, vagyis a-val.
- Fele olyan hosszú, mint a.
A tétel a hasonlóságból következik. A csúcsnál keletkező kis háromszögnek két oldala fele akkora, mint a nagyé, a közbezárt szög pedig közös – így a két háromszög hasonló, 1 : 2 arányban. Ezért a harmadik oldal is feleződik, és a megfelelő szögek egyenlősége miatt a két oldal párhuzamos.
A középvonal kiszámítása
Itt nincs mit bonyolítani: a középvonal hossza a párhuzamos oldal fele. A feladatok inkább fordítva kérdeznek – a középvonalból kell az oldalra következtetni.
Kidolgozott példa · a = 12 cm, b = 16 cm, c = 20 cm
Mekkora a háromszög három középvonala?
- Az a-val párhuzamos középvonal:ka = 122 = 6 cm
- A b-vel párhuzamos:kb = 162 = 8 cm
- A c-vel párhuzamos:kc = 202 = 10 cm
EredményA három középvonal 6 cm, 8 cm és 10 cm hosszú.
A középvonal-háromszög
Ha mindhárom középvonalat behúzod, az eredeti háromszög négy egybevágó kis háromszögre esik szét. A középső a középvonal-háromszög: hasonló az eredetihez, a hasonlóság aránya 1 : 2.
| Adat | Eredeti háromszög | Középvonal-háromszög |
|---|---|---|
| Oldalak | 12, 16, 20 cm | 6, 8, 10 cm |
| Kerület | 48 cm | 24 cm – a fele |
| Terület | 96 cm² | 24 cm² – a negyede |
| Szögek | ugyanazok | ugyanazok, mert hasonlók |
A kerület feleződik, a terület viszont negyedelődik – ez a hasonlóság alaptörvénye: a hosszak aránya 1 : 2, a területeké 1 : 4. Ugyanez a szabály működik minden hasonlósági feladatban.
Derékszögű háromszög középvonala
Derékszögű háromszögben az átfogóval párhuzamos középvonal a legérdekesebb: hossza az átfogó fele, vagyis ugyanannyi, mint az átfogóhoz tartozó súlyvonal és mint a köré írható kör sugara. A fenti példában mindhárom 10 cm.
A két befogóval párhuzamos középvonalak pedig merőlegesek egymásra, hiszen a befogók is azok. Ezért a középvonal-háromszög is derékszögű – a hasonlóság a szögeket megőrzi.
Gyors önellenőrzés
Egy háromszög egyik oldala 18 cm. Mekkora a vele párhuzamos középvonal?
Egy háromszög középvonala 5 cm. Mekkora a hozzá tartozó oldal?
Egy háromszög területe 100 cm². Mekkora a középvonal-háromszög területe?
Hány középvonala van egy háromszögnek?
Gyakori kérdések
Mi a háromszög középvonala?
Két oldal felezőpontját összekötő szakasz. Párhuzamos a harmadik oldallal, és annak a felével egyenlő hosszú – ez a középvonal-tétel.
Hogyan számítom ki a háromszög középvonalát?
Oszd el kettővel azt az oldalt, amellyel a középvonal párhuzamos. Fordítva: ha a középvonal ismert, szorozd meg kettővel, és megkapod az oldalt.
Mekkora a derékszögű háromszög középvonala?
Ugyanúgy a párhuzamos oldal fele. Az átfogóval párhuzamos középvonal így épp az átfogó fele, ami megegyezik az átfogóhoz tartozó súlyvonallal és a köré írható kör sugarával.
Mi a különbség a háromszög és a trapéz középvonala között?
A trapéz középvonala a két párhuzamos oldal átlaga, k = a + c2. A háromszög középvonala viszont mindig csak egyetlen oldal fele.
Mekkora a középvonal-háromszög területe?
Az eredeti háromszög területének a negyede, kerülete pedig a fele. A három középvonal négy egybevágó kis háromszögre bontja az eredetit.