Nevezetes vonalak és pontok
Háromszög súlyvonala
A súlyvonal hosszát a legtöbb feladat három oldalból kéri. Erre van egy kész képlet, amelyet a koszinusztételből lehet levezetni – és van három olyan háromszögtípus, ahol fejben is megvan.
Röviden a válasz
A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz. Az a oldalhoz tartozó súlyvonal hossza a három oldalból: sa = 12 · √2b2 + 2c2 − a2.
Derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó súlyvonal az átfogó fele, szabályos és egyenlő szárú háromszögben pedig az alaphoz tartozó súlyvonal egybeesik a magassággal.
Mit nevezünk súlyvonalnak?
A súlyvonal a háromszög egyik csúcsát köti össze a szemközti oldal felezőpontjával. Minden háromszögnek három súlyvonala van, jelük az oldalhoz igazodik: sa az a oldalhoz tartozik, vagyis az A csúcsból indul.
A súlyvonal a háromszöget két egyenlő területű részre osztja, hiszen a két rész alapja ugyanakkora (a fél oldal), és ugyanaz a magasság tartozik hozzájuk. A három súlyvonal metszéspontja a súlypont, amely mindegyiket 2 : 1 arányban vágja.
A súlyvonal hosszának képlete
A képlet a koszinusztételből jön: felírod a felezőpont körüli két kis háromszögre a koszinusztételt, és a két egyenletet összeadva a koszinuszos tagok kiesnek. Ezért nincs benne szög – csak oldalak.
Kidolgozott példa · a = 8 cm, b = 7 cm, c = 9 cm
Mekkora az a oldalhoz tartozó súlyvonal?
- Behelyettesítés a képletbe:sa = 12 · √2 · 72 + 2 · 92 − 82
- A négyzetek kiszámolása:sa = 12 · √98 + 162 − 64
- Összevonva:sa = 12 · √196 = 12 · 14
- Vagyis:sa = 7 cm
Eredménysa = 7 cm
Amikor nem kell a nagy képlet
| Háromszög | Súlyvonal | Miért |
|---|---|---|
| Derékszögű, átfogóhoz | sc = c2 | A felezőpont a köré írható kör középpontja, így a súlyvonal sugár. |
| Szabályos | s = a · √32 | Egybeesik a magassággal és a szögfelezővel is. |
| Egyenlő szárú, alaphoz | s = √b2 − (a2)2 | Ez is a magasság: a szimmetriatengely. |
| Egyenlő szárú, szárhoz | a nagy képlet kell | A szárhoz tartozó súlyvonal ferde, nem szimmetrikus. |
Kidolgozott példa · Derékszögű háromszög: befogók 10 cm és 24 cm
Mekkora az átfogóhoz tartozó súlyvonal?
- Átfogó Pitagorasz-tétellel:c = √102 + 242 = √676 = 26 cm
- A súlyvonal az átfogó fele:sc = 262 = 13 cm
- Ellenőrzés a nagy képlettel:sc = 12 · √2 · 100 + 2 · 576 − 676 = 12 · √676 = 13 cm
Eredménysc = 13 cm
Ez az eset olyan gyakori, hogy külön oldalt kapott: a derékszögű háromszög súlyvonala mind a három súlyvonalat végigveszi. Szabályos háromszögnél pedig a súlyvonal a magassággal egyezik meg – például a = 12 cm-nél s = 12 · √32 = 10,39 cm.
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög átfogója 20 cm. Mekkora az átfogóhoz tartozó súlyvonal?
Egy háromszög oldalai a = 6, b = 8, c = 10 cm. Mekkora az a oldalhoz tartozó súlyvonal?
Miért osztja a súlyvonal két egyenlő területű részre a háromszöget?
Gyakori kérdések
Mi a háromszög súlyvonala?
A csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz. Minden háromszögnek három súlyvonala van, és ezek a súlypontban metszik egymást.
Hogyan számolom ki a súlyvonal hosszát?
Három oldalból: sa = 12 · √2b2 + 2c2 − a2. Ügyelj rá, hogy annak az oldalnak a négyzetét vond ki, amelyikhez a súlyvonal tartozik.
Mekkora a derékszögű háromszög súlyvonala?
Az átfogóhoz tartozó súlyvonal pontosan az átfogó fele, mert a felezőpont a köré írható kör középpontja. A befogókhoz tartozó két súlyvonalhoz viszont a hosszú képlet kell.
Mekkora a szabályos háromszög súlyvonala?
Ugyanakkora, mint a magassága: s = a · √32. Szabályos háromszögben a súlyvonal, a magasság, a szögfelező és az oldalfelező merőleges mind egybeesik.
Mi a különbség a súlyvonal és a középvonal között?
A súlyvonal csúcsból indul, és a szemközti oldal felezőpontjába megy. A középvonal két oldal felezőpontját köti össze, párhuzamos a harmadik oldallal, és annak a felével egyenlő hosszú.