Nevezetes vonalak és pontok
Háromszög súlypont
Ez az oldal a súlypontot mint pontot nézi: milyen arányban vágja el a súlyvonalakat, mik a koordinátái, és mit jelent fizikailag, hogy „súly"-pont.
Röviden a válasz
A háromszög súlypontja a három súlyvonal metszéspontja, jele S. Mindegyik súlyvonalat 2 : 1 arányban osztja: a csúcs felőli darab a hosszabb.
Koordinátákkal a legegyszerűbb megfogni: a súlypont koordinátái a három csúcs koordinátáinak átlagai, vagyis S(xA + xB + xC3; yA + yB + yC3).
Hol van a súlypont?
A súlyvonal a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával köti össze. Minden háromszögnek három ilyen vonala van, és ezek mindig egyetlen pontban metszik egymást – ez a súlypont.
A súlypont a négy nevezetes pont közül a legszelídebb: mindig a háromszög belsejében van, akkor is, ha a háromszög tompaszögű. A magasságpont és a köré írható kör középpontja ilyenkor kicsúszik, a súlypont soha.
A 2:1 arány
Ez a súlypont legfontosabb tulajdonsága, és szinte minden feladatban ez a kulcs: a súlypont a csúcstól a súlyvonal kétharmadára van, az oldal felezőpontjától pedig az egyharmadára.
Kidolgozott példa · Egy súlyvonal 18 cm hosszú
Milyen messze van a súlypont a csúcstól, és milyen messze az oldal felezőpontjától?
- A súlyvonal három egyenlő részre oszlik, egy rész:18 : 3 = 6 cm
- A csúcs felőli darab két résznyi:AS = 2 · 6 = 12 cm
- Az oldal felőli darab egy résznyi:SF = 1 · 6 = 6 cm
- Ellenőrzés:12 + 6 = 18 cm
EredményA súlypont 12 cm-re van a csúcstól és 6 cm-re az oldal felezőpontjától.
A súlypont koordinátái
Koordinátageometriában semmi trükk nincs benne: a három csúcs koordinátáit átlagolod. Ez az egyik legrövidebb képlet az egész középiskolai anyagban.
Kidolgozott példa · A(2; 1), B(8; 3), C(5; 8)
Hol van a háromszög súlypontja?
- Az x koordináták átlaga:xS = 2 + 8 + 53 = 153 = 5
- Az y koordináták átlaga:yS = 1 + 3 + 83 = 123 = 4
- Ellenőrzés a C-ből induló súlyvonallal – az AB felezőpontja:F(5 ; 2)
- A C(5; 8) és F(5; 2) közötti szakasz kétharmada C-től:8 − 23 · 6 = 8 − 4 = 4
EredményA súlypont S(5; 4) – a második számolás ugyanezt adja ki.
Miért „súly"-pont?
A név nem véletlen: ha kartonból kivágsz egy háromszöget, és a súlypontjában megtámasztod egy ceruza hegyével, a lap vízszintesen egyensúlyban marad. Bármelyik súlyvonal mentén elvágva ugyanis a két félnek egyforma a „forgatónyomatéka".
Ez egyben ellenőrzési módszer is: ha a kiszámolt súlypont nem a háromszög belsejébe esik, biztosan hibáztál. Az összes nevezetes pont közül csak a súlypont van garantáltan mindig belül.
Gyors önellenőrzés
Egy súlyvonal 21 cm. Milyen messze van a súlypont a csúcstól?
Egy háromszög csúcsai A(0; 0), B(6; 0) és C(0; 9). Hol a súlypont?
Melyik nevezetes pont van mindig a háromszög belsejében?
A súlyvonalakról – a hosszuk kiszámításáról és a szerepükről – a háromszög súlyvonala oldalon írunk, a súlypont további tulajdonságairól pedig a háromszög súlypontja oldalon.
Gyakori kérdések
Mi a háromszög súlypontja?
A három súlyvonal metszéspontja. Jele S, és minden súlyvonalat 2 : 1 arányban oszt, a csúcs felőli darab javára.
Milyen arányban osztja a súlypont a súlyvonalat?
2 : 1 arányban, a csúcstól számítva. A csúcstól a súlyvonal kétharmadára, az oldal felezőpontjától az egyharmadára esik.
Hogyan számolom ki a súlypont koordinátáit?
Átlagold a három csúcs koordinátáit külön-külön: xS = xA + xB + xC3 és yS = yA + yB + yC3.
Lehet-e a súlypont a háromszögön kívül?
Nem, soha. A súlypont minden háromszögben – hegyesszögűben, derékszögűben és tompaszögűben is – a háromszög belsejében van.
Hol van a szabályos háromszög súlypontja?
A középpontjában: ott, ahol a magasságpont, a beírt és a köré írható kör középpontja is. Mind a négy nevezetes pont egybeesik.