Nevezetes vonalak és pontok
Derékszögű háromszög súlyvonala
Egy súlyvonalat fejből tudsz: az átfogóhoz tartozót. A másik kettőhöz elég a Pitagorasz-tétel – hosszú súlyvonalképletre itt nincs szükség.
Röviden a válasz
Derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó súlyvonal pontosan az átfogó fele: sc = c2. Ez a Thalész-tétel következménye, számolni sem kell hozzá.
A befogókhoz tartozó súlyvonalak nem ilyen kedvesek, de rájuk is elég a Pitagorasz-tétel: sa = √b2 + (a2)2, ahol a és b a két befogó.
Átfogóhoz tartozó súlyvonal – kalkulátor
Add meg a két befogót (vagy bármely két adatot). A kiemelt $R$ érték az átfogó fele – vagyis pontosan az átfogóhoz tartozó súlyvonal hossza.
Adj meg bármelyik két adatot – a többit kiszámoljuk. A derékszög a C csúcsnál van.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Az átfogóhoz tartozó súlyvonal = az átfogó fele
A súlyvonal a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával köti össze. Derékszögű háromszögben a derékszög csúcsából induló súlyvonal az átfogó felezőpontjába megy – és ennek a szakasznak a hossza pontosan az átfogó fele.
Miért igaz ez? Mert a derékszögű háromszög köré írható kör középpontja épp az átfogó felezőpontja (ez a Thalész-tétel megfordítása). A középponttól mindhárom csúcs egyforma messze van, tehát a felezőponttól a C csúcsig mért távolság ugyanannyi, mint a felezőponttól A-ig, vagyis c2.
A befogókhoz tartozó súlyvonalak
A másik két súlyvonal a befogók felezőpontjába megy. Ezekhez nem kell a hosszú súlyvonalképlet: mivel a két befogó merőleges egymásra, a súlyvonal egy derékszögű háromszög átfogója lesz, amelynek egyik oldala a teljes befogó, a másik a fél befogó.
Érdekes összefüggés, amivel ellenőrizni is tudod magad: a két befogóhoz tartozó súlyvonal négyzetösszege mindig 5 · c24.
Kidolgozott példa mindhárom súlyvonalra
Kidolgozott példa · Befogók: 6 cm és 8 cm
Számítsuk ki a derékszögű háromszög mindhárom súlyvonalát!
- Az átfogó Pitagorasz-tétellel:c = √62 + 82 = √100 = 10 cm
- Az átfogóhoz tartozó súlyvonal ennek a fele:sc = 102 = 5 cm
- Az a = 6 cm-es befogóhoz tartozó súlyvonal:sa = √82 + 32 = √73 = 8,54 cm
- A b = 8 cm-es befogóhoz tartozó súlyvonal:sb = √62 + 42 = √52 = 7,21 cm
- Ellenőrzés:73 + 52 = 125 = 5 · 1024
Eredménysc = 5 cm, sa = 8,54 cm, sb = 7,21 cm
Egyenlő szárú derékszögű háromszög
Ha a két befogó egyenlő (a = b), a képletek még egyszerűbbek lesznek. Ilyenkor az átfogóhoz tartozó súlyvonal egybeesik a magassággal és a szögfelezővel is, mert a háromszög szimmetrikus erre a vonalra.
| Súlyvonal | Képlet | Érték |
|---|---|---|
| Átfogóhoz | sc = c2 = a · √22 | 5,66 cm |
| Befogóhoz | sa = √a2 + (a2)2 | 8,94 cm |
Az átfogó itt 8 · √2 = 11,31 cm, ennek a fele 5,66 cm. A befogóhoz tartozó súlyvonal pedig √64 + 16 = √80 = 8,94 cm.
Ellenőrizd magad
Gyors önellenőrzés
Egy derékszögű háromszög átfogója 26 cm. Mekkora az átfogóhoz tartozó súlyvonal?
A befogók 7 cm és 24 cm. Mekkora a 7 cm-es befogóhoz tartozó súlyvonal?
Lehet-e a súlyvonal rövidebb, mint a hozzá tartozó magasság?
A súlyvonalak általános képletéről (bármilyen háromszögre) a háromszög súlyvonala oldalon olvashatsz, a metszéspontjukról pedig a derékszögű háromszög súlypontja oldalon.
Gyakori kérdések
Mekkora a derékszögű háromszög súlyvonala?
Az átfogóhoz tartozó súlyvonal az átfogó fele: sc = c2. A befogókhoz tartozó súlyvonalak Pitagorasz-tétellel jönnek ki: sa = √b2 + (a2)2.
Miért egyenlő az átfogóhoz tartozó súlyvonal az átfogó felével?
Mert a derékszögű háromszög köré írható kör középpontja az átfogó felezőpontja, és a középponttól minden csúcs R = c2 távolságra van. A derékszög csúcsába mutató sugár maga a súlyvonal.
Hány súlyvonala van a derékszögű háromszögnek?
Háromnak, mint minden háromszögnek: minden csúcsból egy indul a szemközti oldal felezőpontjába. Ezek egy pontban, a súlypontban metszik egymást, amely mindegyiket 2:1 arányban osztja.
Ugyanaz a súlyvonal és a magasság derékszögű háromszögben?
Nem. A 6–8–10 cm-es háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság 4,8 cm, a súlyvonal viszont 5 cm. Csak egyenlő szárú derékszögű háromszögben esik egybe a kettő, ott is csak az átfogóhoz tartozó.
Hogyan kapom meg az átfogót a súlyvonalból?
Szorozd meg kettővel: ha sc = 7,5 cm, akkor az átfogó 15 cm. Ebből a két befogó még nem következik, ahhoz kell egy további adat.