MatematikaMódszertan– főoldal

Négyszögek

Az általános négyszög területe

A legfontosabb tudnivaló nem képlet, hanem egy figyelmeztetés: négy oldalhossz nem határozza meg a négyszög területét. Nézzük, milyen ötödik adat kell hozzá, és melyik módszerrel jutsz a leggyorsabban eredményre.

Frissítve: 3 perc olvasás8–12. osztály

Röviden a válasz

Az általános – vagyis semmilyen nevezetes típusba nem tartozó – négyszög területét úgy kapod meg, hogy egy átlóval két háromszögre bontod, és a két terület összegét veszed: T = T1 + T2. A háromszögekre a Héron-képlet vagy a T = a · m2 alak jó.

Ha az átlókat és a köztük lévő szöget ismered, egy lépésben is megvan: T = e · f · sin φ2. Koordinátageometriában pedig a csúcsok koordinátáiból közvetlenül számolható a terület.

Háromszög-kalkulátor a felbontáshoz

Írd be az átló által levágott egyik háromszög három oldalát, jegyezd fel a területét, aztán a másikét is – a két érték összege a négyszög területe.

azonnal számol

Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.

Bemeneti adatok
a = 20 cmb = 15 cmc = 7 cmABC
Példa:
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre

    Négy oldal nem elég – ez a kulcs

    A háromszög merev alakzat: három oldalhossz egyértelműen meghatározza, és onnan a területe is kijön. A négyszög nem merev – a csúcsainál „csuklóként" elfordulhat, miközben az oldalai változatlanok maradnak. Ezért nincs olyan képlet, amely négy oldalhosszból megadná a területet.

    1. módszer: felbontás átlóval

    Ez a legáltalánosabb út, és mindig működik. Az átló két háromszögre vágja a négyszöget; mindkettőnek ismered a három oldalát (két négyszögoldal plusz maga az átló), így a Héron-képlet mindkettőre alkalmazható.

    Felbontás két háromszögreT = T1 + T2Ahol a Héron-képlet szerint Ti = √s(s-a)(s-b)(s-c), és s az adott háromszög félkerülete.

    Kidolgozott példa · ABCD négyszög: AB = 15, BC = 7, CD = 13, DA = 11 cm, az AC átló 20 cm

    Mekkora a négyszög területe?

    1. Az ABC háromszög oldalai 15, 7 és 20 cm. Félkerület:s1 = 15 + 7 + 202 = 21 cm
    2. Héron-képlettel:T1 = √21 · 6 · 14 · 1 = √1764 = 42 cm2
    3. Az ACD háromszög oldalai 20, 13 és 11 cm. Félkerület:s2 = 20 + 13 + 112 = 22 cm
    4. Héron-képlettel:T2 = √22 · 2 · 9 · 11 = √4356 = 66 cm2
    5. A négyszög területe a kettő összege:T = 42 + 66 = 108 cm2

    EredményT = 108 cm²

    abcABC
    Az átló levágta ABC háromszög: oldalai 15, 7 és 20 cm, területe 42 cm².
    abcABC
    A maradék ACD háromszög: oldalai 20, 13 és 11 cm, területe 66 cm².

    2. módszer: az átlókból és a hajlásszögükből

    Ha nem az oldalak, hanem a két átló és a bezárt szögük ismert, egyetlen szorzás az egész. Ez a képlet minden négyszögre igaz, nemcsak a szimmetrikusokra.

    Terület az átlókbólT = e · f · sin φ2Itt φ az átlók által bezárt (hegyes)szög. Ha az átlók merőlegesek, sin 90° = 1, és a képlet a jól ismert T = e · f2 alakra egyszerűsödik – ezért működik ez rombuszra és deltoidra is.

    Kidolgozott példa · e = 14 cm, f = 10 cm, φ = 60°

    Egy négyszög átlói 14 cm és 10 cm hosszúak, és 60°-os szöget zárnak be. Mekkora a területe?

    1. A képletbe behelyettesítve:T = 14 · 10 · sin 60°2
    2. A szinusz értéke:sin 60° = 0,8660
    3. Innen:T = 140 · 0,86602 = 121,242
    4. Az eredmény:T = 60,62 cm2

    EredményT = 60,62 cm²

    Jól látszik, mekkora szerepe van a szögnek: ugyanezzel a két átlóval, ha merőlegesek lennének, T = 14 · 102 = 70 cm² jönne ki. A merőleges átlójú eseteket és a típusonkénti képleteket a négyszög területe oldalon gyűjtöttük össze.

    3. módszer: terület a csúcsok koordinátáiból

    Koordinátageometriában nem kell se átlót, se szöget mérni. Járd körbe a csúcsokat egy irányban, és képezd a „keresztszorzatok" összegét – ez a sokszögek területképlete, négyszögre így néz ki:

    Négyszög területe koordinátákbólT = |xA yB − xB yA + xB yC − xC yB + xC yD − xD yC + xD yA − xA yD|2

    Kidolgozott példa · A(0; 0), B(6; 1), C(7; 5), D(2; 4)

    Mekkora ennek a négyszögnek a területe?

    1. Az első tag (A és B):0 · 1 − 6 · 0 = 0
    2. A második (B és C):6 · 5 − 7 · 1 = 30 − 7 = 23
    3. A harmadik (C és D):7 · 4 − 2 · 5 = 28 − 10 = 18
    4. A negyedik (D és A):2 · 0 − 0 · 4 = 0
    5. Az összeg fele, abszolút értékben:T = 0 + 23 + 18 + 02 = 412 = 20,5

    EredményT = 20,5 területegység

    Melyik módszert válaszd?

    A megadott adatok és a hozzájuk illő módszer
    Ez van megadvaMódszerKéplet
    Négy oldal + egy átlóFelbontás, kétszer HéronT = T1 + T2
    Egy átló + a két magasságFelbontás magasságokkalT = d · (m1 + m2)2
    Két átló + a hajlásszögükEgy lépésbenT = e · f · sin φ2
    A csúcsok koordinátáiSokszögterület-képletkörbejárás, összeg fele
    Csak a négy oldalNem elég!kell egy ötödik adat

    Egyetlen kivétel van a legalsó sor alól: ha a négyszög húrnégyszög (van köré írható köre), akkor a négy oldal már meghatározza a területet, a Brahmagupta-képlet szerint T = √(s-a)(s-b)(s-c)(s-d), ahol s a félkerület. Ez a Héron-képlet négyszögre kiterjesztett változata.

    Gyors önellenőrzés

    Miért nem lehet négy oldalhosszból területet számolni?
    Mert a négyszög csuklós szerkezetként deformálható: azonos oldalakkal végtelen sok, különböző területű négyszög rajzolható. A háromszög ezzel szemben merev, ezért ott elég a három oldal.
    Egy négyszög átlói merőlegesek, hosszuk 9 cm és 12 cm. Mekkora a területe?
    Merőleges átlóknál sin 90° = 1, tehát T = 9 · 122 = 54 cm². Nem kell tudni, hogy rombuszról, deltoidról vagy szabálytalan négyszögről van-e szó.
    Egy húrnégyszög oldalai 5, 6, 7 és 8 cm. Mekkora a területe?
    A félkerület s = 5+6+7+82 = 13 cm, így T = √8 · 7 · 6 · 5 = √1680 ≈ 40,99 cm². Húrnégyszögnél kivételesen a négy oldal is elég.

    Gyakori kérdések

    Mi az általános négyszög területének képlete?

    Egyetlen univerzális képlet nincs. A biztos módszer az átlós felbontás: T = T1 + T2, vagyis az átló által levágott két háromszög területének összege. Ha az átlókat és a hajlásszögüket ismered, egy lépésben is megvan: T = e · f · sin φ2.

    Ki lehet számolni a négyszög területét a négy oldalából?

    Általában nem. Négy azonos oldalhosszhoz végtelen sok, különböző területű négyszög tartozik – a négyszög nem merev alakzat. Kivétel a húrnégyszög: ott a Brahmagupta-képlet, T = √(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) megadja a területet.

    Hogyan bontom fel a négyszöget háromszögekre?

    Húzz be egy átlót két szemközti csúcs között. Az így kapott két háromszög mindegyikének ismered a három oldalát (két négyszögoldal és az átló), ezért mindkettőre alkalmazható a Héron-képlet. Konkáv négyszögnél csak a belül futó átlót használhatod.

    Mikor jó a T = (e · f)/2 képlet?

    Csak akkor, ha a két átló merőleges egymásra – ez rombusznál, négyzetnél és deltoidnál teljesül. Általános esetben a sin φ szorzó is kell, különben túl nagy eredményt kapsz.

    Hogyan számolok területet a csúcsok koordinátáiból?

    Járd körbe a csúcsokat egy irányban, és minden szomszédos párra képezd az x1 y2 − x2 y1 különbséget. Az összeg abszolút értékének a fele a terület. Az A(0;0), B(6;1), C(7;5), D(2;4) négyszögnél ez 20,5 területegység.

    Hova tovább?

    Négyszög területeMelyik négyszögnek melyik területképlet jár, és mit csinálj, ha a négyszög semmilyen ismert típu…Trapéz területeA trapéz területe T = (a + c)/2 · m, a két párhuzamos oldal átlagának és a magasságnak a szorzat…Deltoid területeA deltoid területe T = e · f / 2, az átlók szorzatának a fele. Konkáv deltoidra ugyanez érvényes…Rombusz területeA rombusz területe az átlók szorzatának a fele: T = e · f / 2. Kalkulátor, három számolási út (á…Terület oldalakbólHa csak a három oldal ismert, a Héron-képlet adja a háromszög területét: félkerület, majd egy gy…Négyszög belső szögeinek összegeA négyszög belső szögeinek összege mindig 360°, mert egy átló két háromszögre bontja. Levezetés,…

    Írj be legalább két betűt. A nyilakkal léphetsz, Enterrel megnyitod.