Négyszögek
A négyszög belső szögeinek összege
Egyetlen szám, amit minden négyszögnél használhatsz – akkor is, ha ferde, akkor is, ha befelé áll az egyik csúcsa. Nézzük, miért éppen 360°, és mire jó ez a feladatokban.
Röviden a válasz
A négyszög belső szögeinek összege mindig 360°, bármilyen négyszögről legyen szó: téglalapról, trapézról, deltoidról vagy szabálytalan alakzatról. Ha három szöget ismersz, a negyedik δ = 360° − (α + β + γ).
A magyarázat egy átló: az két háromszögre vágja a négyszöget, mindkettőben 180° a szögek összege, tehát 2 · 180° = 360°.
Szögösszeg-kalkulátor
A belső szögek összege csak az oldalszámtól függ. Írj be n = 4-et a négyszöghöz – vagy próbáld ki más sokszögekre is.
Add meg az oldalak számát és egy méretet – a szögek és a terület is kijön.
- Oldalak száma
- –
- a oldal
- –
- Kerület
- –
- Terület
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
- Egy belső szög
- –
- Belső szögek összege
- –
- Középponti szög
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Miért pont 360°?
Húzz be egy átlót a négyszög két szemközti csúcsa között. Az átló két háromszögre vágja az alakzatot, és közben egyetlen fokot sem veszít el: az eredeti négy csúcsból kettő változatlan marad, a másik kettőnél pedig a szög kettéosztódik a két háromszög között.
A leggyakoribb feladat: a hiányzó negyedik szög
Ha három szög ismert, a negyedik egy kivonás. Írd fel az összefüggést, add össze az ismerteket, és vond ki a 360°-ból.
Kidolgozott példa · α = 85°, β = 110°, γ = 62°
Mekkora a négyszög negyedik belső szöge?
- A négy szög összege 360°, ezért:δ = 360° − (α + β + γ)
- Az ismert szögek összege:85° + 110° + 62° = 257°
- A kivonás:δ = 360° − 257° = 103°
Eredményδ = 103°
Kidolgozott példa · A szögek aránya 2 : 3 : 4 : 6
Egy négyszög belső szögei így aránylanak egymáshoz. Mekkorák a szögek?
- Az arány összesen ennyi részt jelent:2 + 3 + 4 + 6 = 15 rész
- Egy rész nagysága:360° : 15 = 24°
- A négy szög:2 · 24° = 48°, 3 · 24° = 72°
- És a másik kettő:4 · 24° = 96°, 6 · 24° = 144°
- Ellenőrzés összeadással:48° + 72° + 96° + 144° = 360°
EredményA szögek 48°, 72°, 96° és 144°.
Mit mond a 360° a speciális négyszögekről?
A szögösszeg minden nevezetes négyszögnél ugyanaz, de más-más eloszlásban. Ebből a táblázatból sok feladat egy lépésben megoldható:
| Négyszög | A szögek viszonya | Példa |
|---|---|---|
| Téglalap, négyzet | mind a négy szög 90° | 4 · 90° = 360° |
| Paralelogramma | a szemköztiek egyenlők, a szomszédosak 180°-ra egészülnek ki | ha α = 65°, akkor 65°, 115°, 65°, 115° |
| Trapéz | a szárak két végén lévő szögek összege 180° | α + δ = 180° és β + γ = 180° |
| Deltoid | a szimmetriaátlóra nem illeszkedő két szög egyenlő | a másik kettő szabadon változhat |
| Húrnégyszög | a szemközti szögek összege 180° | ha α = 78°, akkor γ = 102° |
Kidolgozott példa · Paralelogramma egyik szöge 65°
Mekkora a paralelogramma másik három szöge?
- A szomszédos szögek 180°-ra egészítik ki egymást (társszögek):β = 180° − 65° = 115°
- A szemközti szögek egyenlők:γ = α = 65°, δ = β = 115°
- Ellenőrzés:65° + 115° + 65° + 115° = 360°
EredményA négy szög: 65°, 115°, 65° és 115°.
Konkáv négyszög: a 360° akkor is igaz
Ha a négyszög egyik csúcsa befelé áll (konkáv, „behorpadt" négyszög), az ott lévő belső szög nagyobb 180°-nál – ilyet homorúszögnek nevezünk. A szögösszeg ettől még pontosan 360° marad.
Kidolgozott példa · Konkáv négyszög: 40°, 50° és 60°
Egy négyszög három szöge 40°, 50° és 60°. Mekkora a negyedik, és mit jelent ez az alakra nézve?
- A negyedik szög a szokásos módon:δ = 360° − (40° + 50° + 60°) = 360° − 150°
- Vagyis:δ = 210°
- Ez több mint 180°, tehát a negyedik csúcs befelé áll: a négyszög konkáv.δ = 210° > 180°
Eredményδ = 210° – a négyszög konkáv, vagyis „behorpadt".
Hogyan illik ez a többi sokszöghöz?
A 360° nem elszigetelt szabály: minden sokszög szögösszege S = (n − 2) · 180°, mert az egyik csúcsból induló átlók n − 2 háromszögre bontják. Négyszögnél ez két háromszög, ötszögnél három, és így tovább.
| Sokszög | Háromszögek száma | Szögösszeg |
|---|---|---|
| Háromszög (n = 3) | 1 | 180° |
| Négyszög (n = 4) | 2 | 360° |
| Ötszög (n = 5) | 3 | 540° |
| Hatszög (n = 6) | 4 | 720° |
Az általános képlet levezetését és a nagyobb oldalszámú eseteket a sokszög belső szögeinek összege oldalon találod, a szabályos alakzatok egy-egy szögéről pedig a szabályos sokszög belső szögeinek összege oldalon írunk.
Gyors önellenőrzés
Egy négyszög három szöge 90°, 90° és 120°. Mekkora a negyedik?
Lehet egy négyszögnek négy hegyesszöge?
Egy négyszög szögei egyenlők. Mekkora egy szög?
Gyakori kérdések
Mennyi a négyszög belső szögeinek összege?
Pontosan 360°, minden négyszögnél. Nem számít, hogy szabályos, ferde vagy konkáv az alakzat – az összeg mindig ugyanennyi, mert egy átló két háromszögre bontja, és 2 · 180° = 360°.
Hogyan számolom ki a hiányzó negyedik szöget?
Add össze a három ismert szöget, és vond ki az összeget 360°-ból: δ = 360° − (α + β + γ). Ha például 85°, 110° és 62° adott, akkor δ = 360° − 257° = 103°.
Miért éppen 360° és nem 180°?
Mert a 180° a háromszög szögösszege. A négyszög egy átlóval két háromszögre bontható, és a két háromszög szögei együtt pontosan a négyszög négy szögét adják ki – ezért kétszer 180°.
Konkáv négyszögnél is 360° az összeg?
Igen. A befelé álló csúcsnál a belső szög nagyobb 180°-nál (homorúszög), de a négy szög összege így is 360°. Például 40°, 50°, 60° mellett a negyedik szög 210°.
Mennyi a négyszög külső szögeinek összege?
Szintén 360°, de ez egy másik állítás. Minden csúcsnál a külső szög a belső 180°-ra való kiegészítője, így a négy külső szög összege 4 · 180° − 360° = 360°. Érdekesség, hogy ez minden konvex sokszögre igaz, az oldalszámtól függetlenül.
Mekkorák a paralelogramma szögei, ha az egyik 65°?
A szomszédos szög 180° − 65° = 115°, a szemköztiek pedig egyenlők, tehát a négy szög 65°, 115°, 65° és 115°. Összegük 360°, ahogy kell.