Négyszögek
A trapéz területe
A képletbe csak a két párhuzamos oldal és a magasság kerül – a szárak nem. Itt az is megvan, mit csinálj, ha a magasságot nem adják meg, csak a szárakat.
Röviden a válasz
A trapéz területe a két párhuzamos oldal átlagának és a magasságnak a szorzata: T = a + c2 · m. Ha a = 10 cm, c = 6 cm és m = 4 cm, akkor T = 10 + 62 · 4 = 8 · 4 = 32 cm².
A képletbe csak a párhuzamos oldalak (a és c) és a rájuk merőleges magasság kerül. A szárak (b és d) a területbe nem számítanak bele – azokra csak akkor van szükség, ha a magasságot neked kell kiszámolnod, vagy ha a kerület a kérdés.
Trapéz-kalkulátor
Add meg a két párhuzamos oldalt és a magasságot – a terület és a középvonal azonnal kijön. A szárakkal a kerület is.
A két párhuzamos oldal és a magasság kell. A szárak megadásával a kerület is kijön.
- a oldal
- –
- c oldal
- –
- b oldal
- –
- d átmérő / átló
- –
- m magasság
- –
- k középvonal
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A trapéz területének képlete
A trapéz olyan négyszög, amelynek van két párhuzamos oldala. Ezeket alapoknak hívjuk, a másik két oldal a szár. A magasság mindig a két párhuzamos oldal közötti merőleges távolság – nem a szár hossza, és nem is az átló.
Miért éppen ez a képlet?
A legszemléletesebb levezetés a kettőzés: másold le a trapézt, forgasd el 180 fokkal, és told a másolatot az eredeti mellé úgy, hogy a szárak találkozzanak.
- A két trapézból egy paralelogramma lesz, amelynek az alapja a + c, a magassága pedig ugyanaz az m.
- A paralelogramma területe Tp = (a + c) · m.
- Ennek a fele az eredeti trapéz: T = (a + c) · m2 = a + c2 · m.
A másik út a kettéosztás: az egyik átló két háromszögre vágja a trapézt. Mindkettőnek ugyanaz a magassága, csak az alapjuk különbözik: T = a · m2 + c · m2 = (a + c) · m2. Ha a háromszögterület levezetése is kell, nézd meg a háromszög területe oldalt.
Kidolgozott példák
Kidolgozott példa · a = 10 cm, c = 6 cm, m = 4 cm
Mekkora a trapéz területe?
- Előbb a párhuzamos oldalak átlaga (ez a középvonal):k = 10 + 62 = 8 cm
- Ezt szorzod a magassággal:T = 8 · 4 = 32 cm2
EredményT = 32 cm²
Kidolgozott példa · Visszafelé: T = 54 cm², a = 13 cm, c = 5 cm
Mekkora a magasság, ha a trapéz területe 54 cm², a párhuzamos oldalai pedig 13 cm és 5 cm?
- Indulj a képletből, és rendezd át m-re:m = 2 · Ta + c
- Helyettesíts be:m = 2 · 5413 + 5 = 10818
- Az eredmény:m = 6 cm
Eredménym = 6 cm
Kidolgozott példa · Gyakorlati: trapéz alakú telek
Egy telek utcafronti szélessége 24 m, a hátsó határa 16 m, a telek mélysége 15 m. Hány m² a területe?
- A két párhuzamos oldal az utcafront és a hátsó határ, a mélység a magasság:T = 24 + 162 · 15
- Számolj:T = 20 · 15 = 300 m2
EredményT = 300 m²
Mit csinálj, ha a magasságot nem adják meg?
A feladatok jó részében a szárakat kapod meg magasság helyett. Ilyenkor a magasságot a szárból és a túlnyúlásból számolod ki Pitagorasz-tétellel. Egyenlő szárú trapéznál a túlnyúlás mindkét oldalon ugyanakkora: a − c2.
Kidolgozott példa · Egyenlő szárú trapéz: a = 14 cm, c = 6 cm, szár = 5 cm
Mekkora a trapéz területe és kerülete?
- A szárak talppontjai egyenlő darabot vágnak le az alsó alapból:x = a − c2 = 14 − 62 = 4 cm
- A szár, a túlnyúlás és a magasság derékszögű háromszöget alkot:m = √52 − 42 = √25 − 16 = 3 cm
- Most jöhet a területképlet:T = 14 + 62 · 3 = 10 · 3 = 30 cm2
- A kerület a négy oldal összege:K = 14 + 6 + 5 + 5 = 30 cm
EredményT = 30 cm², K = 30 cm
A trapéz fajtái
| Típus | Amiben különleges | Terület |
|---|---|---|
| Általános trapéz | Csak egy oldalpár párhuzamos. | T = a + c2 · m |
| Egyenlő szárú (szimmetrikus) | A két szár egyenlő, van szimmetriatengelye, az átlói egyenlők. | Ugyanaz, a magasság Pitagorasszal jön ki. |
| Derékszögű trapéz | Az egyik szár merőleges az alapokra – ez a szár maga a magasság. | Ugyanaz, m = a merőleges szár. |
| Paralelogramma | Mindkét oldalpár párhuzamos, tehát a = c. | T = a · m |
Jól látszik, hogy a paralelogramma területe a trapézképlet speciális esete: ha a = c, akkor a + a2 = a, és marad a T = a · m. Ugyanígy a téglalap is trapéz – csak épp derékszögekkel.
A középvonal
A trapéz középvonala a két szár felezőpontját köti össze. Két dolgot tud: párhuzamos az alapokkal, és a hossza a két alap átlaga, k = a + c2. Ez a háromszög középvonalának a rokona – ott a szemközti oldal fele adódik, mert a „felső alap” nullára zsugorodik. A részleteket a háromszög középvonala oldalon találod.
Gyors önellenőrzés
Egy trapéz párhuzamos oldalai 11 cm és 9 cm, magassága 5 cm. Mekkora a területe?
Egy trapéz középvonala 12 cm, magassága 6 cm. Mekkora a területe?
Igaz-e, hogy a szárak hossza befolyásolja a trapéz területét?
Egy derékszögű trapéz alapjai 12 cm és 6 cm, a merőleges szára 5 cm. Mekkora a területe?
Gyakori kérdések
Mi a trapéz területének képlete?
T = a + c2 · m, ahol a és c a két párhuzamos oldal, m pedig a köztük mért magasság. Másképp: a középvonal szorozva a magassággal.
A szárakat is bele kell számolni a trapéz területébe?
Nem. A képletbe csak a két párhuzamos oldal és a magasság kerül. A szárakra akkor van szükség, ha a magasságot kell belőlük kiszámolnod, vagy ha a kerület a kérdés (K = a + b + c + d).
Hogyan számolom ki a trapéz magasságát, ha csak a szárakat ismerem?
Egyenlő szárú trapéznál a túlnyúlás a − c2, és ebből Pitagorasz-tétellel jön a magasság: m = √b2 − (a − c2)2. Ha a = 14 cm, c = 6 cm, b = 5 cm, akkor a túlnyúlás 4 cm, a magasság 3 cm.
Hogyan kapom meg a magasságot a területből?
Rendezd át a képletet: m = 2 · Ta + c. Ha T = 54 cm², a = 13 cm és c = 5 cm, akkor m = 10818 = 6 cm.
Mi a trapéz középvonala, és mire jó?
A két szár felezőpontját összekötő szakasz. Hossza a két alap átlaga, k = a + c2, és párhuzamos az alapokkal. Ha ismered, a terület egyetlen szorzás: T = k · m.
A paralelogramma trapéz?
A magyar iskolai definíció szerint igen: a trapéznak van két párhuzamos oldala, a paralelogrammának pedig kettő is van. Ezért a trapéz területképlete a = c esetén a paralelogramma képletébe megy át: T = a · m.