Négyszögek
A deltoid területe
Az átlók szorzatának a fele – és ami a legtöbb helyen kimarad: ez a képlet a konkáv (behúzott csúcsú) deltoidra is szó szerint ugyanígy működik.
Röviden a válasz
A deltoid területe az átlók szorzatának a fele: T = e · f2. Ha a szimmetriaátló 12 cm, a másik átló 8 cm, akkor T = 12 · 82 = 48 cm².
Ez a képlet konkáv deltoidra is érvényes, ott is az átlók szorzatának a felét kell venni – csak figyelni kell rá, hogy a szimmetriaátlót a behúzott csúcsig mérjük.
Deltoid-kalkulátor
A két átlóból azonnal jön a terület; ha az oldalakat is beírod, a kerületet is megkapod.
A két átló elég a területhez; az oldalak megadásával a kerület is megvan.
- e átló
- –
- f átló
- –
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A deltoid területének képlete
A deltoid olyan négyszög, amelynek két-két szomszédos oldala egyenlő. Egyik átlója szimmetriatengely: ez merőlegesen felezi a másik átlót. Épp ez a merőlegesség adja a képletet – ugyanaz az összefüggés, ami a rombusz területénél is működik, hiszen a rombusz olyan deltoid, amelynek mind a négy oldala egyenlő.
Kidolgozott példa · e = 12 cm, f = 8 cm
Mekkora a deltoid területe?
- Szorozd össze a két átlót:e · f = 12 · 8 = 96
- Vedd a felét:T = 962 = 48 cm2
EredményT = 48 cm²
A konkáv deltoid területe
A konkáv deltoid (más néven nyílhegy vagy dárda) esetén az egyik csúcs be van húzva: az ott lévő belső szög nagyobb 180 foknál. A területképlet ettől nem változik, mert a fenti levezetésben az összeadás helyére csak kivonás lép: f · m12 − f · m22 = f · (m1 − m2)2, és m1 − m2 éppen a szimmetriaátló hossza.
Kidolgozott példa · Konkáv deltoid: e = 10 cm, f = 14 cm
Egy nyílhegy alakú (konkáv) deltoid szimmetriaátlója a hegyes csúcstól a behúzott csúcsig 10 cm, a másik átlója 14 cm. Mekkora a területe?
- A képlet ugyanaz, mint a konvex esetben:T = e · f2
- Behelyettesítve:T = 10 · 142 = 1402
- Az eredmény:T = 70 cm2
EredményT = 70 cm²
Ha csak az oldalakat és egy átlót ismered
A feladatok másik fele nem átlókat ad meg, hanem oldalakat. Ilyenkor a szimmetriaátlót két derékszögű háromszögből, Pitagorasz-tétellel rakod össze.
Kidolgozott példa · a = 13 cm, b = 15 cm, f = 24 cm
Egy deltoid rövidebb oldalpárja 13 cm, a hosszabb 15 cm, a szimmetriaátlóra merőleges átlója 24 cm. Mekkora a területe és a kerülete?
- Az f átlót a szimmetriaátló felezi, tehát a fele:f/2 = 12 cm
- A rövid oldalakhoz tartozó rész:m1 = √132 − 122 = √169 − 144 = 5 cm
- A hosszú oldalakhoz tartozó rész:m2 = √152 − 122 = √225 − 144 = 9 cm
- A szimmetriaátló a kettő összege:e = 5 + 9 = 14 cm
- Innen a terület:T = 14 · 242 = 168 cm2
- A kerület a két oldalpár összegének kétszerese:K = 2 · (13 + 15) = 56 cm
EredményT = 168 cm², K = 56 cm
A T = a · b · sin γ képletben γ a különböző hosszú oldalak által bezárt szög (ilyenből kettő van, és egyenlők). A fenti példában ez a szög kb. 59,5°, és valóban: 13 · 15 · sin 59,5° ≈ 168 cm². Ez ugyanaz a gondolat, mint a háromszög területe szinusszal számolva.
Gyors önellenőrzés
Egy deltoid átlói 9 cm és 6 cm. Mekkora a területe?
Egy konkáv deltoid területe 70 cm², a szimmetriaátlója 10 cm. Mekkora a másik átlója?
Miért nem elég a deltoid két oldala a területéhez?
Gyakori kérdések
Mi a deltoid területének képlete?
T = e · f2, vagyis a két átló szorzatának a fele. A képlet azért igaz, mert a deltoid átlói merőlegesek egymásra.
Hogyan számolom ki a konkáv deltoid területét?
Pontosan ugyanúgy: T = e · f2. A szimmetriaátlót a hegyes csúcstól a behúzott csúcsig mérd, a másik átló pedig a két szárnycsúcs távolsága – ez konkáv esetben az alakzaton kívül fut, de a hossza így is a képletbe kerül.
Hogyan kapom meg a deltoid átlóit az oldalakból?
A szimmetriaátlóra merőleges átló felét a Pitagorasz-tétellel bontod meg: a két oldalpárból m1 = √a2 − (f2)2 és m2 = √b2 − (f2)2, a szimmetriaátló pedig ezek összege (konkáv esetben a különbsége).
Mi a különbség a deltoid és a rombusz között?
A rombusz olyan deltoid, amelynek mind a négy oldala egyenlő. Emiatt a rombusznál mindkét átló felezi a másikat, a deltoidnál csak a szimmetriaátló felezi a másikat. A területképletük viszont azonos.
Mekkora a deltoid kerülete?
K = 2 · (a + b), ahol a és b a két oldalpár hossza. A 13 cm-es és 15 cm-es oldalpárral K = 56 cm – ehhez az átlókat nem is kell ismerned.