Négyszögek
A négyszög területe
Nincs egyetlen „négyszögképlet”. Előbb felismered a típust, és ahhoz veszed a képletet – ha pedig egyik típus sem illik rá, az átló két háromszögre bontja, és onnan mindig kijön.
Röviden a válasz
A négyszög területe attól függ, milyen négyszögről van szó: téglalapnál T = a · b, paralelogrammánál T = a · m, trapéznál T = a + c2 · m, rombusznál és deltoidnál T = e · f2.
Ha a négyszög egyik típusba sem fér bele, akkor húzz be egy átlót: az két háromszögre bontja az alakzatot. Számold ki a két háromszög területét külön, és add össze őket. Ez a módszer minden konvex négyszögre működik.
Háromszög-kalkulátor a négyszög felbontásához
Az átló két háromszögre vágja a négyszöget. Írd be az egyik háromszög három oldalát, jegyezd fel a területét, aztán a másikét – a kettő összege a négyszög területe.
Három adat kell, amiből legalább egy oldal: SSS, SAS, ASA vagy AAS.
- a oldal
- –
- b oldal
- –
- c oldal
- –
- Felszín
- –
- β szög
- –
- γ szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
- ma magasság
- –
- mb magasság
- –
- mc magasság
- –
- Köré írt kör sugara R
- –
- Beírt kör sugara r
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Előbb a típus, utána a képlet
A „négyszög területe” kérdésre nincs egyetlen válasz, mert a négyszög gyűjtőfogalom. A dolgozatokban a következő öt-hat típus fordul elő, és mindegyiknek saját, rövidebb képlete van. Az első lépés tehát mindig az, hogy felismered az alakzatot.
| Négyszög | Amiről felismered | Területképlet |
|---|---|---|
| Négyzet | Négy egyenlő oldal, négy derékszög. | T = a2 |
| Téglalap | Négy derékszög, a szemközti oldalak egyenlők. | T = a · b |
| Paralelogramma | Mindkét oldalpár párhuzamos. | T = a · m |
| Rombusz | Négy egyenlő oldal, az átlók merőlegesek. | T = e · f2 |
| Deltoid | Két-két szomszédos oldal egyenlő, egy szimmetriatengely. | T = e · f2 |
| Trapéz | Egy oldalpár párhuzamos. | T = a + c2 · m |
| Általános négyszög | Egyik fenti sem illik rá. | Átlóval két háromszögre bontod. |
Az univerzális módszer: felbontás átlóval
Ha a négyszög „szabálytalan” – semelyik oldalpárja nem párhuzamos, nincs derékszöge, nincs szimmetriája –, akkor egyetlen átló megmenti a feladatot. Az átló két háromszögre vágja a négyszöget, és a háromszög területét már mindig ki tudod számolni.
Kidolgozott példa · ABCD négyszög, az AC átló 13 cm
Az ABC háromszög oldalai 5 cm, 12 cm és 13 cm, az ACD háromszögé 13 cm, 14 cm és 15 cm. Mekkora a négyszög területe?
- Az első háromszögben 52 + 122 = 169 = 132, tehát derékszögű – a két rövidebb oldal a befogó:T1 = 5 · 122 = 30 cm2
- A másodikhoz Héron-képlet kell, előbb a félkerület:s = 13 + 14 + 152 = 21 cm
- Innen a terület:T2 = √21 · 8 · 7 · 6 = √7056 = 84 cm2
- A négyszög területe a kettő összege:T = 30 + 84 = 114 cm2
EredményT = 114 cm²
Ha az átlók merőlegesek
Van egy szép rövidítés: ha a négyszög két átlója merőleges egymásra, akkor a terület az átlók szorzatának a fele, függetlenül attól, hol metszik egymást.
Kidolgozott példa · e = 18 cm, f = 11 cm, merőleges átlók
Egy négyszög átlói merőlegesek egymásra, hosszuk 18 cm és 11 cm. Mekkora a területe?
- Merőleges átlóknál elég a szorzat fele:T = 18 · 112 = 1982
- Az eredmény:T = 99 cm2
EredményT = 99 cm²
Két dolog minden négyszögre igaz: a belső szögeinek összege 360° (részletesen a négyszög belső szögeinek összege oldalon), a kerülete pedig egyszerűen a négy oldal összege, K = a + b + c + d.
Gyors önellenőrzés
Egy négyszög két párhuzamos oldala 9 cm és 5 cm, a magassága 4 cm. Melyik képlet kell, és mennyi a terület?
Egy négyszög átlói merőlegesek, hosszuk 20 cm és 7 cm. Mekkora a területe?
Egy szabálytalan négyszöget az átló egy 24 cm² és egy 37 cm² területű háromszögre bont. Mekkora a négyszög területe?
Gyakori kérdések
Mi a négyszög területének képlete?
Nincs egyetlen közös képlet. Téglalapnál T = a · b, paralelogrammánál T = a · m, trapéznál T = a + c2 · m, rombusznál és deltoidnál T = e · f2. Általános négyszögnél az átló két háromszögre bontja az alakzatot, és a két terület összege adja az eredményt.
Hogyan számolom ki egy szabálytalan négyszög területét?
Húzz be egy átlót, és számold ki a két keletkező háromszög területét külön. Ha csak az oldalakat ismered, Héron-képlettel: T = √s(s-a)(s-b)(s-c). A két részterületet a végén összeadod.
Igaz-e, hogy a négyszög területe az átlók szorzatának a fele?
Csak akkor, ha a két átló merőleges egymásra. Ez teljesül a négyzetre, a rombuszra és a deltoidra. Ha az átlók nem merőlegesek, a képlet nem használható.
Miért nem szorozhatom össze a négyszög két szomszédos oldalát?
Mert a szorzás csak akkor ad területet, ha a két adat merőleges egymásra. Ferde négyszögnél az oldalak szöget zárnak be, ezért az egyikhez tartozó magasság kell, vagy a szög szinusza: T = a · b · sin γ a részháromszögben.
Mennyi a négyszög belső szögeinek összege?
Mindig 360°, mert az átló két háromszögre bontja, és mindkettőben 180° a szögösszeg. Ez konkáv négyszögre is igaz.