Négyszögek
A rombusz területe
Három adatpárból is kijön: az átlókból, az oldalból és a magasságból, vagy az oldalból és egy szögből. Itt mind a három megvan, és az is, hogyan váltasz köztük.
Röviden a válasz
A rombusz területe a két átló szorzatának a fele: T = e · f2. Ha az átlók 16 cm és 12 cm, akkor T = 16 · 122 = 96 cm².
Mivel a rombusz paralelogramma is, ugyanez kijön alapból és magasságból (T = a · m), illetve oldalból és szögből (T = a2 · sin α). A három képlet ugyanarra az eredményre vezet, csak más adatokat kér.
Rombusz-kalkulátor
Elég két adat: a két átló, vagy az oldal a magassággal, egy átlóval, illetve egy szöggel.
A két átló elég – de az oldal és a magasság, vagy az oldal és egy szög is jó.
- a oldal
- –
- e átló
- –
- f átló
- –
- m magasság
- –
- Szög
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A rombusz területének három képlete
A rombusz olyan négyszög, amelynek mind a négy oldala egyenlő. Emiatt egyszerre paralelogramma (a szemközti oldalai párhuzamosak) és deltoid (két-két szomszédos oldala egyenlő) – és mindkét „családtól” örököl egy-egy területképletet.
Miért az átlók szorzatának a fele?
Foglald a rombuszt egy téglalapba úgy, hogy a téglalap oldalai párhuzamosak legyenek az átlókkal. A négy csúcs ilyenkor a téglalap oldalfelező pontjaiba kerül.
- A befoglaló téglalap oldalai éppen az átlók: e és f, területe tehát e · f.
- A téglalapból négy derékszögű háromszög lóg ki a rombuszon kívül, és ezek páronként egybevágók a rombusz négy belső háromszögével.
- A rombusz így pontosan a téglalap fele: T = e · f2.
Ugyanez a levezetés minden olyan négyszögre működik, amelynek merőlegesek az átlói – ezért használható ugyanez a képlet a deltoid területére is.
Kidolgozott példák
Kidolgozott példa · Átlókból: e = 16 cm, f = 12 cm
Mekkora a rombusz területe, oldala és magassága?
- A terület az átlókból:T = e · f2 = 16 · 122 = 96 cm2
- Az átlók felei derékszögű háromszöget alkotnak az oldallal:a = √82 + 62 = √64 + 36 = √100 = 10 cm
- A magasság a paralelogramma-képletből:m = Ta = 9610 = 9,6 cm
EredményT = 96 cm², a = 10 cm, m = 9,6 cm
Kidolgozott példa · Oldalból és szögből: a = 6 cm, α = 30°
Mekkora a rombusz területe és magassága?
- A terület oldalból és szögből:T = a2 · sin α = 62 · sin 30°
- A sin 30° = 0,5, ezért:T = 36 · 0,5 = 18 cm2
- A magasság innen egy osztás:m = Ta = 186 = 3 cm
EredményT = 18 cm², m = 3 cm
A T = a2 · sin α képlet a paralelogramma T = a · b · sin α alakjából jön: rombusznál a = b, ezért lesz belőle négyzet. Mindegy, melyik szöget használod, mert a szomszédos szögek kiegészítő szögek, és a szinuszuk egyenlő. Erről bővebben a paralelogramma területe oldalon írunk.
Kidolgozott példa · Visszafelé: T = 60 cm², e = 15 cm
Mekkora a másik átló, az oldal és a kerület?
- A területképletet a hiányzó átlóra rendezed:f = 2 · Te = 12015 = 8 cm
- A fél átlókból Pitagorasz-tétellel jön az oldal:a = √7,52 + 42 = √56,25 + 16 = √72,25
- Vagyis:a = 8,5 cm
- A kerület a négy egyenlő oldal összege:K = 4 · a = 4 · 8,5 = 34 cm
Eredményf = 8 cm, a = 8,5 cm, K = 34 cm
Az oldal és az átlók kapcsolata
Mivel az átlók merőlegesen felezik egymást, a rombusz négy egybevágó derékszögű háromszögre esik szét. Ezek befogói a fél átlók, az átfogójuk pedig a rombusz oldala.
A derékszögű háromszögben végzett oldalszámítás menetét a derékszögű háromszög oldalainak kiszámítása oldalon nézheted át, ha itt elakadsz.
Rombusz, deltoid, négyzet – mi a különbség?
| Alakzat | Oldalak | Átlók | Terület |
|---|---|---|---|
| Rombusz | Mind a négy egyenlő. | Merőlegesek, felezik egymást. | T = e · f2 = a · m |
| Deltoid | Két-két szomszédos egyenlő. | Merőlegesek, csak az egyik felezi a másikat. | T = e · f2 |
| Négyzet | Mind a négy egyenlő, a szögek derékszögek. | Merőlegesek, egyenlők, felezik egymást. | T = a2 = e22 |
| Paralelogramma | Szemköztiek egyenlők. | Felezik egymást, de nem merőlegesek. | T = a · m |
A négyzet területe tehát a rombuszképlet speciális esete: ha a két átló egyenlő (e = f), akkor T = e22. A rombusz egyben két egybevágó egyenlő szárú háromszög is – ha ebből az irányból akarod számolni, nézd meg az egyenlő szárú háromszög területe oldalt.
Gyors önellenőrzés
Egy rombusz átlói 10 cm és 7 cm. Mekkora a területe?
Egy rombusz oldala 13 cm, az egyik átlója 24 cm. Mekkora a másik átló?
Lehet-e egy rombusz területe nagyobb az oldalhossz négyzeténél?
Egy rombusz kerülete 40 cm. Mekkora az oldala?
Gyakori kérdések
Mi a rombusz területének képlete?
A leggyakoribb alak az átlókkal: T = e · f2. Ha az oldalt és a magasságot ismered, T = a · m; ha az oldalt és egy szöget, T = a2 · sin α. Mindhárom ugyanazt az eredményt adja.
Miért kell osztani kettővel az átlók szorzatát?
Mert a rombusz pontosan fele akkora, mint az a téglalap, amelynek oldalai az átlók. A merőleges átlók négy derékszögű háromszögre vágják a rombuszt, és ezek éppen a befoglaló téglalap felét fedik le.
Hogyan számolom ki a rombusz oldalát az átlókból?
Az átlók felei derékszögű háromszög befogói, az oldal az átfogó: a = √(e2)2 + (f2)2. Ha e = 16 cm és f = 12 cm, akkor a = √64 + 36 = 10 cm.
Mekkora a rombusz magassága?
A területből egy osztással: m = Ta. A 96 cm² területű, 10 cm oldalú rombusznál m = 9,6 cm. A magasság mindig kisebb az oldalnál, kivéve a négyzetet, ahol egyenlő vele.
Mi a különbség a rombusz és a deltoid területképlete között?
Nincs különbség: mindkettőnél T = e · f2, mert mindkettőnek merőlegesek az átlói. A különbség az alakzatban van: a rombusznál az átlók felezik egymást, a deltoidnál csak a szimmetriaátló felezi a másikat.
Minden négyzet rombusz?
Igen, mert a négyzetnek is mind a négy oldala egyenlő. Fordítva nem igaz: a rombusz csak akkor négyzet, ha a szögei derékszögek, vagyis ha a két átlója egyenlő hosszú.