Testek: felszín és térfogat
A csonka kúp térfogata
Két úton is eljuthatsz az eredményhez: kész képlettel, vagy úgy, hogy a teljes kúpból kivonod a levágott kis kúpot. Mindkettőt végigszámoljuk ugyanazon a testen.
Röviden a válasz
A csonka kúp térfogata V = π · m3 · (R2 + R · r + r2), ahol R az alsó, r a felső körlap sugara, m pedig a két körlap távolsága. Ha R = 6 cm, r = 3 cm és m = 8 cm, akkor V = 3,14 · 83 · (36 + 18 + 9) = 527,52 cm³ (π ≈ 3,14).
A képletben szereplő R · r tag miatt nem elég a két alapkör területének az átlagával számolni – az többet adna. A csonka kúp ugyanis a teljes kúpból marad meg, ha az alaplappal párhuzamosan levágod a csúcs felőli részt.
Kúpkalkulátor a kivonásos módszerhez
A csonka kúp = teljes kúp mínusz a levágott kis kúp. Számold ki itt előbb a teljes kúpot (r = 6, m = 16), majd a kis kúpot (r = 3, m = 8), és vond ki a kettőt egymásból.
Az alapkör sugara és a magasság vagy az alkotó.
- Beírt kör sugara r
- –
- m magasság
- –
- Félkerület s
- –
- Alapterület
- –
- Palást
- –
- Felszín
- –
- Térfogat
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A csonka kúp képletei
A jelölés fontos: R mindig a nagyobbik (alsó) körlap sugara, r a kisebbiké, m pedig a két párhuzamos körlap merőleges távolsága – nem a ferde alkotó. Ha a feladat az alkotót adja meg, előbb a fenti gyökös képletből számolj magasságot.
Kidolgozott példa két módszerrel
Kidolgozott példa · R = 6 cm, r = 3 cm, m = 8 cm
Mekkora a csonka kúp térfogata? Számolj π ≈ 3,14 értékkel.
- Írd fel a zárójelben lévő összeget:R2 + R · r + r2 = 36 + 18 + 9 = 63
- A képlet elejét is számold ki:π · m3 = 3,14 · 83 = 8,3733
- Szorozd össze a kettőt:V = 8,3733 · 63 = 527,52 cm3
EredményV = 527,52 cm³ ≈ 0,53 liter
Nézzük ugyanezt kivonással, mert ez az, amiből a képlet származik. A felső sugár épp a fele az alsónak, tehát a levágott kis kúp a teljes kúp kicsinyített mása feleakkora méretekkel: ha a csonka kúp 8 cm magas, a teljes kúp 16 cm.
Kidolgozott példa · Ugyanaz a test kivonással
Teljes kúp (r = 6 cm, m = 16 cm) mínusz a levágott kis kúp (r = 3 cm, m = 8 cm).
- A teljes kúp térfogata:V1 = 62 · 3,14 · 163 = 602,88 cm3
- A levágott kis kúp térfogata:V2 = 32 · 3,14 · 83 = 75,36 cm3
- A különbség a csonka kúp:V = 602,88 − 75,36 = 527,52 cm3
EredményUgyanaz: V = 527,52 cm³
Ha az alkotót adják meg
Kidolgozott példa · Vödör: R = 10 cm, r = 6 cm, m = 12 cm
Hány liter fér a vödörbe, és mekkora az oldalfal (a palást) felülete?
- Térfogat:V = 3,14 · 123 · (100 + 60 + 36) = 12,56 · 196
- Kiszámolva:V = 2461,76 cm3 = 2,46 liter
- Az alkotó a magasságból és a sugarak különbségéből:s = √122 + (10-6)2 = √144 + 16 = √160
- Vagyis:s = 12,65 cm
- A palást (kerekítés nélküli alkotóval számolva):P = 3,14 · 12,6491 · (10 + 6) ≈ 635,5 cm2
EredményV ≈ 2,46 liter, a palást P ≈ 635,5 cm²
Az alkotó azért Pitagorasz-tétellel jön ki, mert a csonka kúp tengelymetszete egy egyenlő szárú trapéz: a magasság az egyik befogó, a sugarak különbsége a másik, és az alkotó az átfogó. A teljes kúp esetét a kúp térfogata oldalon részletezzük.
Gyors önellenőrzés
Egy csonka kúp alsó sugara 4 cm, felső sugara 2 cm, magassága 3 cm. Mekkora a térfogata (π = 3,14)?
Miért nagyobb a csonka kúp térfogata, mint a két alapkör területének átlaga szorozva a magassággal?
Mi lesz a képletből, ha a felső sugár nulla?
Gyakori kérdések
Mi a csonka kúp térfogatának képlete?
V = π · m3 · (R2 + R · r + r2), ahol R az alsó, r a felső körlap sugara, m a magasság. Fontos, hogy a középső tag R · r, nem R + r.
Hogyan vezethető le a csonka kúp térfogata?
Egészítsd ki a testet teljes kúppá, és vond ki a levágott kis kúpot. A két kúp hasonló, ezért a magasságuk aránya megegyezik a sugarak arányával – a kivonás elvégzése után pontosan a fenti képletet kapod.
Mekkora a csonka kúp felszíne?
A = π · (R2 + r2) + π · s · (R + r), ahol s = √m2 + (R-r)2 az alkotó. Az első tag a két körlap, a második a palást. Ha a test felül nyitott (például egy vödör), a felső körlapot hagyd ki.
Mi a különbség a magasság és az alkotó között?
A magasság a két párhuzamos körlap merőleges távolsága, az alkotó pedig a ferde oldal hossza. Az alkotó mindig nagyobb: s = √m2 + (R-r)2.
Hány liter egy csonka kúp alakú vödör?
Számolj a képlettel cm³-ben, majd oszd 1000-rel. Egy R = 10 cm, r = 6 cm, m = 12 cm méretű vödörbe 2461,76 cm³, vagyis körülbelül 2,46 liter fér.