Testek: felszín és térfogat
A csonka gúla felszíne
A palást négy trapézból áll – ha ezt egyszer meglátod, a képlet magától jön. Itt van az oldallap-magasság kiszámítása is, mert a feladatok többsége azon bukik el.
Röviden a válasz
A csonka gúla felszíne A = T + t + P: az alaplap, a fedőlap és a palást összege. A palást trapéz alakú oldallapokból áll, szabályos csonka gúlánál P = K + k2 · mo, ahol K és k a két alaplap kerülete, mo pedig az oldallap magassága.
Négyzet alapú csonka gúlánál ez A = a2 + c2 + 2 · (a + c) · mo. Ha a = 10 cm, c = 4 cm és mo = 5 cm, akkor A = 100 + 16 + 140 = 256 cm².
Oldallap-kalkulátor: egy trapéz területe
A csonka gúla palástja trapézokból áll. Írd be a két párhuzamos oldalt (a két alapélt) és a trapéz magasságát (az oldallap-magasságot) – a kapott területet szorozd meg az oldallapok számával. A példánk: 10 és 4 cm-es alapélek, 5 cm oldallap-magasság.
A két párhuzamos oldal és a magasság kell. A szárak megadásával a kerület is kijön.
- a oldal
- –
- c oldal
- –
- b oldal
- –
- d átmérő / átló
- –
- m magasság
- –
- k középvonal
- –
- Terület
- –
- Kerület
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Miből áll a csonka gúla felszíne?
A csonka gúla abból a gúlából marad, amelynek a csúcsát az alaplappal párhuzamosan levágod. Így két párhuzamos, hasonló sokszög marad: a nagyobb az alaplap (T), a kisebb a fedőlap (t). A kettőt trapéz alakú oldallapok kötik össze – ezek adják a palástot.
Az oldallap-magasság: itt bukik el a legtöbb feladat
A feladatok többnyire a testmagasságot (m) adják meg, a palásthoz viszont az oldallap-magasság (mo) kell. A kettő között az alapélek különbségének fele teremt kapcsolatot: ha átvágod a testet a szemközti oldalélek felezőpontjain, egy derékszögű háromszöget kapsz.
Kidolgozott példák
Kidolgozott példa · a = 10 cm, c = 4 cm, testmagasság m = 4 cm
Mekkora a négyzet alapú csonka gúla felszíne?
- A vízszintes kilógás:a − c2 = 10 − 42 = 3 cm
- Az oldallap-magasság Pitagorasz-tétellel:mo = √42 + 32 = √16 + 9 = √25 = 5 cm
- Az alaplap és a fedőlap:T = 102 = 100 cm2; t = 42 = 16 cm2
- Egy oldallap trapéz területe:T1 = 10 + 42 · 5 = 7 · 5 = 35 cm2
- Négy oldallap adja a palástot:P = 4 · 35 = 140 cm2
- A felszín a három rész összege:A = 100 + 16 + 140 = 256 cm2
EredményA = 256 cm²
Kidolgozott példa · Virágláda: alsó él 18 cm, felső él 30 cm, oldallap-magasság 20 cm
Mennyi lemez kell egy felül nyitott, felfelé szélesedő ládához? (Csak a négy oldallap és a fenék kell.)
- Egy oldallap trapéz területe:T1 = 30 + 182 · 20 = 24 · 20 = 480 cm2
- Négy oldallap:P = 4 · 480 = 1920 cm2
- A fenék a kisebbik négyzet:t = 182 = 324 cm2
- Fedőlap nincs, ezért:A = 1920 + 324 = 2244 cm2
EredményA = 2244 cm² lemez
Ellenőrzés és rokon testek
| Test | Felszín | A palást alakja |
|---|---|---|
| Csonka gúla (négyzet alapú) | A = a2 + c2 + 2(a + c) · mo | Négy trapéz |
| Csonka gúla (szabályos, n oldalú) | A = T + t + K + k2 · mo | n darab trapéz |
| Csonka kúp | A = R2π + r2π + π · s · (R + r) | Körgyűrűcikk |
| Teljes gúla (c = 0) | A = a2 + 2 · a · mo | Négy háromszög |
Az utolsó sor jó önellenőrzés: ha a fedőlap élét nullára csökkented (c = 0), a képletből A = a2 + 2 · a · mo marad, ami pontosan a gúla felszíne. Ha pedig c = a, egy hasábot kapsz vissza. A csonka gúla e két véglet között van – és ugyanígy viselkedik a csonka kúp is.
Gyors önellenőrzés
Egy négyzet alapú csonka gúla alapéle 12 cm, fedőéle 6 cm, oldallap-magassága 8 cm. Mekkora a palástja?
Ugyanennél a testnél mekkora a teljes felszín?
Az alapél 20 cm, a fedőél 8 cm, a testmagasság 8 cm. Mekkora az oldallap-magasság?
Miért trapéz alakúak az oldallapok?
Gyakori kérdések
Mi a csonka gúla felszínének képlete?
A = T + t + P, vagyis alaplap + fedőlap + palást. Négyzet alapú csonka gúlánál A = a2 + c2 + 2 · (a + c) · mo, ahol mo az oldallap magassága.
Hogyan számolom ki a csonka gúla palástját?
Egy oldallap trapéz, területe a + c2 · mo. Szabályos csonka gúlánál a palást P = K + k2 · mo, ahol K és k a két alaplap kerülete; négyzet alapnál ez 2 · (a + c) · mo.
Mi a különbség a testmagasság és az oldallap-magasság között?
A testmagasság (m) a két párhuzamos lap merőleges távolsága, az oldallap-magasság (mo) a trapéz alakú oldallap magassága. Kapcsolatuk mo = √m2 + (a − c2)2, tehát mo mindig nagyobb.
Miért trapézok a csonka gúla oldallapjai?
Mert a levágó sík párhuzamos az alaplappal, így a fedőlap élei párhuzamosak az alaplap éleivel. Minden oldallapnak két párhuzamos oldala lesz, tehát trapéz.
Mit tegyek, ha a test felül nyitott?
Hagyd ki a hiányzó lapot az összegzésből. Egy felül nyitott ládánál csak a fenék és a négy trapéz kell, a fedőlap nem.