Testek: felszín és térfogat
A henger térfogata
Egy henger térfogata nem más, mint az alapkör területe „felszorozva” a magasságra. Itt megvan a képlet, az átmérőből induló változat, a literre váltás és az is, hol szokott elcsúszni a számolás.
Röviden a válasz
A henger térfogata az alapkör területének és a magasságnak a szorzata: V = r2 · π · m. Ha r = 3 cm és m = 10 cm, akkor V = 9 · 3,14 · 10 = 282,6 cm³ (π ≈ 3,14).
Ha átmérőt kaptál, először feleződ: r = d2. A térfogat mindig köbös egységben jön ki (cm³, dm³, m³), és 1 dm³ pontosan 1 liter.
Hengerkalkulátor
Add meg az alapkör sugarát (vagy átmérőjét) és a magasságot – a térfogat, a palást és a felszín is megjelenik.
Az alapkör sugara (vagy átmérője) és a magasság kell.
- Beírt kör sugara r
- –
- d átmérő / átló
- –
- m magasság
- –
- Alapterület
- –
- Palást
- –
- Felszín
- –
- Térfogat
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A henger térfogatának képlete
A képletben r az alapkör sugara, m pedig a két alaplap távolsága, vagyis a henger magassága. A logika ugyanaz, mint minden hasábnál: alapterület szorozva a magassággal. A henger valójában olyan hasáb, amelynek az alaplapja kör.
Kidolgozott példák
Kidolgozott példa · Sugárból: r = 3 cm, m = 10 cm
Mekkora a henger térfogata? Számolj π ≈ 3,14 értékkel.
- Az alapkör területe:Ta = r2 · π = 32 · 3,14 = 28,26 cm2
- Szorozd meg a magassággal:V = 28,26 · 10
- Az eredmény:V = 282,6 cm3
EredményV = 282,6 cm³
Kidolgozott példa · Átmérőből: d = 12 cm, m = 25 cm
Egy konzervdoboz átmérője 12 cm, magassága 25 cm. Hány liter fér bele?
- Először sugarat számolsz, mert a képlet azzal dolgozik:r = d2 = 122 = 6 cm
- Alapkör területe:Ta = 62 · 3,14 = 113,04 cm2
- Térfogat:V = 113,04 · 25 = 2826 cm3
- Váltsd literre – 1000 cm³ = 1 dm³ = 1 liter:V = 2,826 dm3 = 2,826 liter
EredményV = 2826 cm³ ≈ 2,83 liter
Kidolgozott példa · Visszafelé: V = 2260,8 cm³, m = 20 cm
Egy henger térfogata 2260,8 cm³, a magassága 20 cm. Mekkora az alapkör sugara?
- Rendezd át a képletet r2-re:r2 = Vπ · m = 2260,83,14 · 20
- A nevező kiszámolva:r2 = 2260,862,8 = 36
- Vonj négyzetgyököt:r = √36 = 6 cm
Eredményr = 6 cm, tehát az átmérő 12 cm
Térfogat és felszín egy feladatban
A dolgozatok jó része egyszerre kéri a térfogatot és a felszínt. Érdemes látni, hogy a kettő más adatból épül fel: a térfogathoz a kör területe kell, a felszínhez a kör területe és a kör kerülete is.
A fenti r = 3 cm, m = 10 cm hengernél a palást P = 2 · 3 · 3,14 · 10 = 188,4 cm², a két alaplap együtt 2 · 28,26 = 56,52 cm², így a felszín A = 244,92 cm². A palást azért téglalap, mert ha a henger papírcímkéjét felvágod és kiteríted, egy 2 · r · π széles és m magas téglalapot kapsz – a részletek a henger felszíne oldalon vannak.
Liter, dm³, m³ – mértékegységek
A hétköznapi hengerek (bögre, konzerv, víztartály, csővezeték) térfogatát literben szoktuk megadni. A váltás egyetlen szabályon áll: 1 dm³ = 1 liter, és minden lépésnél ezerrel szorzol vagy osztasz.
| Egység | Átváltás | Példa |
|---|---|---|
| 1 cm³ | = 1 milliliter | Egy kockacukor nagyságrendje. |
| 1 dm³ | = 1000 cm³ = 1 liter | Egy 10 cm élű kocka. |
| 1 m³ | = 1000 dm³ = 1000 liter | Egy közepes víztartály. |
| 1 hl | = 100 liter | Boroshordó, kisebb medence egy része. |
Praktikus fogás: ha a méreteket deciméterben helyettesíted be, a térfogat rögtön literben jön ki. Egy 0,6 dm sugarú, 2,5 dm magas konzervdoboznál V = 0,36 · 3,14 · 2,5 = 2,826 liter – ugyanaz, mint fent, csak átváltás nélkül. Több hasonló váltásra a térfogatszámítás oldalon találsz példát.
Henger, kúp, gömb – hogyan viszonyulnak egymáshoz?
Ugyanabból az r sugárból és m magasságból három test térfogatát is fel tudod írni, és a köztük lévő arány megjegyezhető.
| Test | Térfogat | Viszony a hengerhez |
|---|---|---|
| Henger | V = r2 · π · m | Ez az alapeset. |
| Kúp | V = r2 · π · m3 | Pontosan a henger harmada – lásd a kúp térfogata oldalt. |
| Gömb (m = 2r) | V = 43 · r3 · π | A körülírt henger kétharmada. |
A gömbnél az összehasonlítás akkor igaz, ha a henger épp „ráhúzható” a gömbre, tehát a magassága 2r. Ilyenkor a henger térfogata 2 · r3 · π, a gömbé 43 · r3 · π – az arány valóban 2 : 3. Ezt Arkhimédész fedezte fel, és a részletek a gömb térfogata oldalon vannak.
Gyors önellenőrzés
Egy henger alapkörének sugara 2 cm, magassága 5 cm. Mekkora a térfogata (π = 3,14)?
Hányszorosára nő a térfogat, ha a sugarat megduplázod, a magasságot pedig változatlanul hagyod?
Egy víztartály belső átmérője 1 m, magassága 2 m. Hány liter fér bele?
Két henger magassága egyenlő, az egyik sugara háromszor akkora. Melyikbe fér több, és hányszor annyi?
Gyakori kérdések
Mi a henger térfogatának képlete?
A henger térfogata V = r2 · π · m, ahol r az alapkör sugara, m a magasság. Először az alapkör területét számolod ki (r2 · π), és azt szorzod a magassággal. Az eredmény köbegységben (cm³, dm³, m³) jön ki.
Hogyan számolom a henger térfogatát átmérőből?
Feleződ az átmérőt, és a kapott sugárral dolgozol: r = d2. Egy lépésben is felírható: V = d2 · π · m4. Ha d = 12 cm és m = 25 cm, akkor V = 144 · 3,14 · 254 = 2826 cm³.
Mennyi a henger térfogata és felszíne ugyanabból az adatból?
A térfogat V = r2 · π · m, a felszín A = 2 · r2 · π + 2 · r · π · m. Ugyanabból az r-ből és m-ből mindkettő kijön, csak a felszínhez a kör kerülete is kell. Az r = 3 cm, m = 10 cm hengernél V = 282,6 cm³ és A = 244,92 cm².
Hogyan kapom meg a sugarat vagy a magasságot a térfogatból?
Rendezd át a képletet. A magasság m = Vr2 · π, a sugár r = √Vπ · m. Például V = 2260,8 cm³ és m = 20 cm esetén r2 = 2260,862,8 = 36, tehát r = 6 cm.
Hány liter egy henger térfogata?
Számold ki a térfogatot dm³-ben, mert 1 dm³ = 1 liter. A legegyszerűbb, ha már a méreteket is deciméterben helyettesíted be. 2826 cm³ például 2,826 dm³, vagyis körülbelül 2,83 liter.
Mennyivel számoljam a π-t hengernél?
Általános iskolában 3,14, középiskolában 3,1416 vagy a számológép π gombja a szokásos. Mindig írd oda a megoldás mellé, melyikkel dolgoztál – a néhány tizedes eltérés így nem hiba.