Testek: felszín és térfogat
A kúp felszíne és palástja
A palást kiterítve egy körcikk – ebből az egy ábrából az egész képlet levezethető. Itt az alkotó szerepe, a nyitott tölcsér esete és a körcikk középponti szöge is megvan.
Röviden a válasz
A kúp felszíne A = r2 · π + r · π · s, vagyis az alapkör területe plusz a palást. A palást külön P = r · π · s, ahol s az alkotó: a csúcstól az alapkör pereméig húzott ferde szakasz.
Ha csak a magasságot ismered, előbb Pitagorasz-tétellel számolj alkotót: s = √r2 + m2. Például r = 3 cm és m = 4 cm esetén s = 5 cm, a palást 3,14 · 3 · 5 = 47,1 cm², a felszín 75,36 cm² (π = 3,14-gyel).
Kúpfelszín-kalkulátor
Add meg a sugarat és mellé a magasságot vagy az alkotót – a palást, a felszín és a térfogat is megjelenik.
Az alapkör sugara és a magasság vagy az alkotó.
- Beírt kör sugara r
- –
- m magasság
- –
- Félkerület s
- –
- Alapterület
- –
- Palást
- –
- Felszín
- –
- Térfogat
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
Miért éppen rπs a palást?
Vágd fel a kúp palástját egy alkotó mentén, és terítsd ki: körcikket kapsz. Ennek a körcikknek a sugara az alkotó, s, az íve pedig pontosan az alapkör kerülete, 2 · r · π – hiszen ehhez ragadt hozzá.
A körcikk területe „fél ív szorozva sugár”: T = i · s2. Behelyettesítve i = 2 · r · π-t: P = 2 · r · π · s2 = r · π · s. Nincs benne semmi varázslat, csak a körcikk területe képlet.
Kidolgozott példák
Kidolgozott példa · Magasságból: r = 3 cm, m = 4 cm
Mekkora a kúp palástja és felszíne? (π = 3,14)
- Előbb az alkotó Pitagorasz-tétellel:s = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 5 cm
- A palást:P = r · π · s = 3 · 3,14 · 5 = 47,1 cm2
- Az alapkör:Ta = r2 · π = 9 · 3,14 = 28,26 cm2
- A felszín a kettő összege:A = 47,1 + 28,26 = 75,36 cm2
EredményP = 47,1 cm², A = 75,36 cm²
Kidolgozott példa · Nagyobb kúp: r = 9 cm, m = 12 cm
Mekkora a felszín? (π = 3,14)
- Az alkotó – ez is Pitagoraszi számhármas, a 3-4-5 háromszorosa:s = √81 + 144 = √225 = 15 cm
- Palást:P = 9 · 3,14 · 15 = 423,9 cm2
- Alapkör:Ta = 81 · 3,14 = 254,34 cm2
- Felszín:A = 423,9 + 254,34 = 678,24 cm2
EredményA = 678,24 cm²
Kidolgozott példa · Parti kalap: r = 7 cm, s = 25 cm
Hány cm² kartonpapír kell egy kúp alakú, alap nélküli kalaphoz? (π = 3,14)
- Alaplap nincs, tehát csak a palást kell:P = r · π · s
- Behelyettesítve:P = 7 · 3,14 · 25 = 549,5 cm2
EredményP = 549,5 cm² karton
Ez a kúpfeladatok másik fele: a tölcsér, kalap, sátor típusú testeknek nincs alaplapjuk, ezért csak a palástot kell kiszámolni. Mindig olvasd el, hogy zárt testről vagy nyitott köpenyről van-e szó.
A kiterített palást középponti szöge
Ha tényleg meg akarod rajzolni a hálót, kell a körcikk középponti szöge. A körcikk íve 2 · r · π, a teljes s sugarú kör kerülete 2 · s · π, tehát a szög ugyanolyan arányban áll 360°-kal, ahogy r áll s-hez:
| Amit tudsz | Amit előbb ki kell számolni | Felszín |
|---|---|---|
| r és s | – (minden megvan) | A = r · π · (r + s) |
| r és m | s = √r2 + m2 | A = r · π · (r + s) |
| s és m | r = √s2 − m2 | A = r · π · (r + s) |
| r és a palást P | s = Pr · π | A = r2 · π + P |
Gyors önellenőrzés
Egy kúp sugara 5 cm, alkotója 12 cm. Mekkora a palástja? (π = 3,14)
Egy kúp sugara 6 cm, magassága 8 cm. Mekkora a felszíne? (π = 3,14)
Miért nagyobb az alkotó a magasságnál?
Egy tölcsér sugara 4 cm, alkotója 9 cm. Mennyi papír kell hozzá? (π = 3,14)
Gyakori kérdések
Mi a kúp felszínének képlete?
A = r2 · π + r · π · s, vagy kiemelve A = r · π · (r + s). Az első tag az alapkör, a második a palást; s az alkotó, nem a magasság.
Hogyan számolom ki a kúp palástját?
P = r · π · s. A palást kiterítve egy s sugarú körcikk, amelynek íve az alapkör kerülete. Ha r = 3 cm és s = 5 cm, akkor P = 3 · 3,14 · 5 = 47,1 cm².
Mi a különbség a kúp alkotója és magassága között?
A magasság (m) a csúcs merőleges távolsága az alaplaptól, az alkotó (s) a csúcstól az alapkör pereméig húzott ferde szakasz. Összefüggésük s = √r2 + m2, tehát az alkotó mindig hosszabb.
Hogyan kapom meg az alkotót, ha csak a sugarat és a magasságot ismerem?
Pitagorasz-tétellel: s = √r2 + m2. A sugár, a magasság és az alkotó derékszögű háromszöget alkot, amelyben az alkotó az átfogó.
Mekkora a kúp palástjának középponti szöge kiterítve?
α = 360° · rs. Egy r = 3 cm, s = 5 cm-es kúpnál ez 216°, tehát a hálóhoz egy 216°-os körcikket kell kivágni.
Nyitott tölcsérnél is az egész felszínt kell számolni?
Nem, a tölcsérnek, kúpos kalapnak és sátornak nincs alaplapja, ezért csak a palást kell: P = r · π · s.