Testek: felszín és térfogat
A kúp térfogata
A kúp mindig a vele azonos alapú és magasságú henger harmada. A feladatok nehézsége nem a képlet, hanem az, hogy gyakran nem a magasságot, hanem az alkotót adják meg.
Röviden a válasz
A kúp térfogata V = r2 · π · m3, ahol r az alapkör sugara, m a magasság. Ha r = 5 cm és m = 12 cm, akkor V = 25 · 3,14 · 123 = 314 cm³ (π ≈ 3,14).
Ha az s alkotót ismered a magasság helyett, előbb Pitagorasz-tétellel számolj magasságot: m = √s2 − r2. Csak ezután jöhet a térfogatképlet.
Kúpkalkulátor
Add meg az alapkör sugarát, és mellé a magasságot vagy az alkotót – a térfogat, a palást és a felszín is megjelenik.
Az alapkör sugara és a magasság vagy az alkotó.
- Beírt kör sugara r
- –
- m magasság
- –
- Félkerület s
- –
- Alapterület
- –
- Palást
- –
- Felszín
- –
- Térfogat
- –
Hogyan jön ki? Lépésről lépésre
A képlet és a hármas osztó
A hármas osztó nem önkényes. Ha egy kúpot és egy vele azonos alapkörű, azonos magasságú hengert veszel, a kúp pontosan háromszor fér bele a hengerbe. Vízzel ki is próbálható: három kúpnyi víz tölti meg a hengert. Ugyanez az arány érvényes a gúla és a hasáb között is – a szabály nem a kör alakhoz, hanem a csúcsba futó formához kötődik.
Kidolgozott példák
Kidolgozott példa · Magasságból: r = 5 cm, m = 12 cm
Mekkora a kúp térfogata, és mekkora az alkotója?
- Az alapkör területe:Ta = r2 · π = 25 · 3,14 = 78,5 cm2
- Térfogat – a henger harmada:V = 78,5 · 123 = 9423 = 314 cm3
- Az alkotó Pitagorasz-tétellel:s = √r2 + m2 = √25 + 144 = √169 = 13 cm
EredményV = 314 cm³, s = 13 cm
Kidolgozott példa · Alkotóból: r = 6 cm, s = 10 cm
Egy tölcsér alapkörének sugara 6 cm, az alkotója 10 cm. Mekkora a térfogata?
- Előbb magasság kell. A sugár, a magasság és az alkotó derékszögű háromszöget alkot:m = √s2 − r2 = √100 − 36 = √64
- Vagyis:m = 8 cm
- Alapkör területe:Ta = 36 · 3,14 = 113,04 cm2
- Térfogat:V = 113,04 · 83 = 904,323 = 301,44 cm3
EredményV = 301,44 cm³
Csonka kúp térfogata
Ha a kúp csúcsát az alaplappal párhuzamos síkkal levágod, csonka kúpot kapsz: két különböző sugarú, párhuzamos körlap között. A térfogatképlet ilyenkor három tagot tartalmaz.
Kidolgozott példa · Csonka kúp: R = 8 cm, r = 4 cm, m = 9 cm
Mekkora egy virágcserép térfogata, ha alul 8 cm, felül 4 cm sugarú, és 9 cm magas? (Fordítva állítva a szűkebb kör van alul.)
- A zárójel tartalma:R2 + R · r + r2 = 64 + 32 + 16 = 112
- A szorzó:π · m3 = 3,14 · 93 = 9,42
- Térfogat:V = 9,42 · 112 = 1055,04 cm3
EredményV = 1055,04 cm³ ≈ 1,06 liter
Ha a csonka kúp lejtős palástjára is szükséged van, a csonka kúp térfogata oldalon több feladattípus szerepel, a palást és a felszín képletei pedig a kúp felszíne oldalon vannak.
Gyors önellenőrzés
Egy kúp alapkörének sugara 3 cm, magassága 4 cm. Mekkora a térfogata (π = 3,14)?
Egy henger és egy kúp alapköre és magassága is egyforma. Hányszor annyi fér a hengerbe?
Egy kúp térfogata 314 cm³, az alapkör sugara 5 cm. Mekkora a magassága?
Gyakori kérdések
Mi a kúp térfogatának képlete?
A kúp térfogata V = r2 · π · m3, ahol r az alapkör sugara, m pedig a testmagasság. Ez pontosan az azonos alapú és magasságú henger térfogatának a harmada.
Hogyan számolom a kúp térfogatát, ha az alkotót ismerem?
Előbb magasságot számolsz Pitagorasz-tétellel: m = √s2 − r2, majd behelyettesítesz. Ha r = 6 cm és s = 10 cm, akkor m = 8 cm, és V = 36 · 3,14 · 83 = 301,44 cm³.
Mi a csonka kúp térfogatának képlete?
A csonka kúp térfogata V = π · m3 · (R2 + R · r + r2), ahol R és r a két párhuzamos kör sugara, m a távolságuk. Például R = 8 cm, r = 4 cm, m = 9 cm esetén V = 9,42 · 112 = 1055,04 cm³.
Miért osztunk hárommal a kúp térfogatánál?
Mert a csúcsba futó testek térfogata mindig a megfelelő hasáb harmada. Egy kúppal háromszor merve tele lehet tölteni a vele azonos alapú és magasságú hengert – ugyanez igaz a gúlára és a hasábra is.
Hogyan kapom meg a kúp magasságát a térfogatból?
Rendezd át a képletet: m = 3 · Vr2 · π. Ha V = 314 cm³ és r = 5 cm, akkor m = 94278,5 = 12 cm.